曲线积分与曲面积分-第四节---对面积的曲面积分省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件.pptx

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对面积曲面积分概念与性质
二 对面积曲面积分计算法
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一 对面积曲面积分概念与性质
引例: 设曲面形构件含有连续面密度
类似求平面薄板质量思想, 采取
可得
求质
“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”
方法,
量 M.
其中,  表示 n 小块曲面直径
最大值 (曲面直径为其上任意两点间距离最大者).
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定义:
设  为有界光滑曲面,
“乘积和式极限”
都存在,
曲面积分
其中 f (x, y, z) 叫做被积
据此定义, 曲面形构件质量为
曲面面积为
f (x, y, z) 是定义在 
上一 个有界函数,
记作
或第一类曲面积分.
若对  做任意分割和局部区域
则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面  上对面积
函数,  叫做积分曲面.
任意取点,
叫做曲面面积元素。
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则对面积曲面积分存在.
• 对积分域可加性.
则有
• 线性性质.
在有界光滑曲面 上
对面积曲面积分与对弧长曲线积分性质类似.
• 积分存在性.
若  是分片光滑,
比如分成两
片光滑曲面
连续,
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二 对面积曲面积分计算法
定理: 设有光滑曲面
f (x, y, z) 在  上连续,
存在,
则曲面
证实: 由定义知
积分
且有
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则
(光滑)
取
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同理假如
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例1. 计算曲面积分
其中是球面
被平面
截出顶部.
解:
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例2. 计算
其中 是由平面
坐标面所围成四面体表面.
解: 设
上部分, 则
与
原式 =
分别表示 在平面
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例3 计算
其中
是介于平面
之间圆柱面
解
在
上
原式
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