§5.1-平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理(试题部分).docx

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【真题探秘】
§　平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理
探考情 悟真题
【考情探究】
考点
内容解读
5年考情
预测
热度
考题示例
考向
关联考点
平面向量
的线性运
算及其几
何意义
①理解平面向量的有关概念及向量的表示方法;②掌握向量加法、减法、数乘的运算,理解其几何意义;③理解两个向量共线的含义;④了解向量线性运算的性质及其几何意义
2018课标全面向量的混合运算
—
★★☆
2017课标全面向量的有关概念
垂直、平行、模的关系
平面向量
基本定理
及向量的
坐标运算
①了解平面向量基本定理及其意义;②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;③会用坐标对向量进行线性运算;④理解用坐标表示的平面向量共线的条件
2018课标全面向量的坐标运算
两向量平行的充要条件
★★☆
2016课标全面向量的坐标运算
两向量平行的充要条件
2019课标全面向量的坐标运算
向量的模
分析解读
从近几年的高考试题来看,高考对本节内容的考查以选择题和填空题为主,重点考查向量的概念、几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件和向量的坐标运算,、向量的线性运算、平面向量基本定理、向量的坐标运算等知识是平面向量的基础,高考主要考查基础运用,其中线性运算、坐标运算、平面向量基本定理是高考的重点与热点,要熟练掌握.
破考点 练考向
【考点集训】
考点一　平面向量的线性运算及其几何意义
1.(2020届西南地区名师联盟8月联考,2)如图,向量a-b等于(　　)
A.-e1+3e2 B.-4e1-2e2 -3e2 D.-2e1-4e2
答案　A　
2.(2020届河北邢台第一次联考,5)如图,AB是圆O的一条直径,C,D是半圆弧的两个三等分点,则AB=(　　)
-AD -2AD
-AC -2AC
答案　D　
3.(2018吉林调研,8)已知a,b是不共线的非零向量,AB=λa+b,AC=a+μb(λ,μ∈R),若A,B,C三点共线,则λ,μ的关系一定成立的是(　　)
=1 =-1
-μ=1 +μ=2
答案　A　
4.(2019广东普宁一中月考,9)在△OAB中,若点C满足AC=2CB,OC=λOA+μOB,则1λ+1μ=(　　)

答案　D　
考点二　平面向量基本定理及向量的坐标运算
1.(2018河北衡水中学五调,8)已知平面直角坐标系内的两个向量a=(1,2),b=(m,3m-2),且平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c=λa+μb(λ,μ为实数),则m的取值范围是(　　)
A.(-∞,2) B.(2,+∞) C.(-∞,+∞) D.(-∞,2)∪(2,+∞)
答案　D　
2.(2020届山西长治二中等六校9月联考,3)已知平面向量a=(-1,2),b=(2,y),且a∥b,则3a+2b=(　　)
A.(-1,7) B.(-1,2) C.(1,2) D.(1,-2)
答案　D　
3.(2019四川成都石室中学一诊,15)在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,E为DC边的中点,P为线段AE上的动点,设向量AP=λDB+μAD,则λ+μ的最大值为　　　　. 
答案　2
炼技法 提能力
【方法集训】
方法1　向量共线问题的求解方法
1.(2018福建漳州二模,5)已知点C(1,-1),D(2,x),若向量a=(x,2)与CD的方向相反,则|a|=(　　)

答案　C　
,b是不共线的两个非零向量.
(1)若OA=2a-b,OB=3a+b,OC=a-3b,求证:A、B、C三点共线;
(2)若8a+kb与ka+2b共线,求实数k的值;
(3)设OM=ma,ON=nb,OP=αa+βb,其中m,n,α,β均为实数,m≠0,n≠0,若M、N、P三点共线,求证:αm+βn=1.
答案　(1)证明:∵AB=OB-OA=(3a+b)-(2a-b)=a+2b,BC=OC-OB=(a-3b)-(3a+b)=-2a-4b=-2AB,
∴AB与BC共线,且有公共点B,
∴A、B、C三点共线.
(2)∵8a+kb与ka+2b共线,
∴存在实数λ,使得8a+kb=λ(ka+2b)⇒(8-λk)a+(k-2λ)b=0.
∵a与b为不共线的非零向量,
∴8-λk=0,k-2λ=0⇒8=2λ2⇒λ=±2.
∴k=2λ=±4.
(3)证法一:∵M、N、P三点共线,
∴存在实数μ,使得MP=μPN,
∴OP=OM+μON1+μ=m1+μa+μn1+μb.
∵a,b为不共线的非零向量,OP=αa+βb,
∴α=m1+μ,β=μn1+μ.
∴αm+βn=11+μ+μ1+μ=1.
证法二:∵M、N、P三点共线,
∴OP=xOM+yON,且x+y=1.
由已知可得,xma+ynb=αa+βb,
∴x=αm,y=βn,
∴αm+βn=1.
方法2　利用平面向量基本定理解决问题的方法
1.(2020届福建莆田一中摸底,6)如图,在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F,若AC=a,BD=b,则AF=(　　)
+12b +14b +13b +23b
答案　C　
2.(2019河北衡水中学二调,14)如图,已知平面内有三个向量OA,OB,OC,其中OA与OB的夹角为120°,OA与OC的夹角为30°,且|OA|=|OB|=1,|OC|=23,若OC=λOA+μOB(λ,μ∈R),则λ+μ的值为　　　　. 
答案　6
3.(2019陕西彬州第一次教学质量监测,15)如图所示,已知点G是△ABC的重心,过点G作直线分别交AB,AC两边于M,N两点,且AM=xAB,AN=yAC,则3x+y的最小值为　　　　. 
答案　4+233
【五年高考】
A组　统一命题·课标卷题组
考点一　平面向量的线性运算及其几何意义
1.(2018课标全国Ⅰ,7,5分)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则EB=(　　)
-14AC -34AC
+14AC +34AC
答案　A　
2.(2017课标全国Ⅱ,4,5分)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则(　　)
⊥b B.|a|=|b| ∥b D.|a|>|b|
答案　A　
考点二　平面向量基本定理及向量的坐标运算
1.(2015课标Ⅰ,2,5分)已知点A(0,1),B(3,2),向量AC=(-4,-3),则向量BC=(　　)
A.(-7,-4) B.(7,4) C.(-1,4) D.(1,4)
答案　A　
2.(2019课标全国Ⅱ,3,5分)已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|=(　　)

答案　A　
3.(2016课标全国Ⅱ,13,5分)已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a∥b,则m=　　　　. 
答案　-6
B组　自主命题·省(区、市)卷题组
1.(2015广东,9,5分)在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形,AB=(1,-2),AD=(2,1),则AD·AC=(　　)

答案　A　
2.(2015湖南,9,5分)已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥(2,0),则|PA+PB+PC|的最大值为(　　)

答案　B　
3.(2017山东,11,5分)已知向量a=(2,6),b=(-1,λ).若a∥b,则λ=　　　　. 
答案　-3
C组　教师专用题组
考点一　平面向量的线性运算及其几何意义
1.(2014课标Ⅰ,6,5分)设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则EB+FC=(　　)

答案　A　
答案　D
考点二　平面向量基本定理及向量的坐标运算
1.(2015四川,2,5分)设向量a=(2,4)与向量b=(x,6)共线,则实数x=(　　)

答案　B　
2.(2015福建,7,5分)设a=(1,2),b=(1,1),c=a+⊥c,则实数k的值等于(　　)
A.-32 B.-53
答案　A　
3.(2013广东,10,5分)设a是已知的平面向量且a≠,有如下四个命题:
①给定向量b,总存在向量c,使a=b+c;
②给定向量b和c,总存在实数λ和μ,使a=λb+μc;
③给定单位向量b和正数μ,总存在单位向量c和实数λ,使a=λb+μc;
④给定正数λ和μ,总存在单位向量b和单位向量c,使a=λb+μc.
上述命题中的向量b,c和a在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是(　　)

答案　B　
4.(2019浙江,17,6分)(i=1,2,3,4,5,6)取遍±1时,|λ1AB+λ2BC+λ3CD+λ4DA+λ5AC+λ6BD|的最小值是　　　　,最大值是　　　　. 
答案　0;25
5.(2014陕西,18,12分)在直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),点P(x,y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上,且OP=mAB+nAC(m,n∈R).
(1)若m=n=23,求|OP|;
(2)用x,y表示m-n,并求m-n的最大值.
答案　(1)∵m=n=23,AB=(1,2),AC=(2,1),
∴OP=23(1,2)+23(2,1)=(2,2),
∴|OP|=22+22=22.
(2)∵OP=m(1,2)+n(2,1)=(m+2n,2m+n),
∴x=m+2n,y=2m+n,两式相减,得m-n=y-x.
令y-x=t,由图知,当直线y=x+t过点B(2,3)时,t取得最大值1,故m-n的最大值为1.
【三年模拟】
时间:50分钟　分值:70分
一、选择题(每小题5分,共45分)
1.(2020届辽宁本溪调研,3)已知点M是△ABC的边BC的中点,点E在边AC上,则EC=2AE,则向量EM=(　　)
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
+13AB +16AB
+12AB +32AB
答案　C　
2.(2020届皖北第一次联考,5)已知A,B,C是△ABC的三个顶点,O为平面内一点,满足OA+OB+OC=0,若实数λ满足AB+AC+λOA=0,则λ的值为(　　)
C.-2
答案　A　
3.(2018辽宁六校协作体期中联考,4)设非零向量a,b,下列四个条件中,使a|a|=b|b|成立的充分条件是(　　)
∥b =2b ∥b且|a|=|b| =-b
答案　B　
4.(2020届福建泉州调研,5)已知△ABC的顶点分别为A(2,1),B(3,2),C(-3,-1),BC边上的高为AD,则点D的坐标为(　　)
A.-95,-75 ,-75 ,75 D.-92,-75
答案　C　
5.(2020届安徽合肥一中、安庆一中等六校第一次联考,9)如图,在平行四边形ABCD中,M,N分别为AB、AD上的点,且AM=45AB,连接AC、MN交于P点,若AP=411AC,则点N在AD上的位置为(　　)




答案　B　
6.(2019广东江门一模,7)△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,CD⊥AB,垂足为D,则CD=(　　)
+37CB +47CB
+925CB +1625CB
答案　C　
7.(2020届广西柳州二中月考,10)在△ABC中,点D在线段BC的延长线上,且BC=3CD,点O在线段CD上(与点C,D不重合),若AO=xAB+(1-x)AC,则x的取值范围是(　　)
,12 ,13 C.-12,0 D.-13,0
答案　D　
8.(2020届宁夏银川一中第一次月考,11)设O在△ABC的内部,且有OA+2OB+3OC=0,则△ABC的面积与△AOC的面积之比为(　　)

答案　A　
9.(2018江西宜春联考,11)设O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三点,动点P满足OP=OA+λAB|AB|cosB+AC|AC|cosC,λ∈[0,+∞),则点P的轨迹经过△ABC的(　　)

答案　D　
二、填空题(每小题5分,共10分)
10.(2019陕西汉中十二校联考,13)已知P为△ABC所在平面内一点,且满足AP=λ(AB+AC),BP=(1-2μ)BC(λ,μ∈R),则λ+μ=　　　　. 
答案　34
11.(2019四川成都一诊,16)已知G为△ABC的重心,过点G的直线与边AB,AC分别相交于点P,=35AB,则△ABC与△APQ的面积之比为　　　　. 
答案　209
三、解答题(共15分)
12.(2018河南许昌、平顶山两市联考,21)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,M为平面上任意一点,A,B,C三点满足MC=13MA+23MB.
(1)求证:A,B,C三点共线,并求|BA||BC|的值;
(2)已知A(1,sin x),B(1+sin x,sin x),M1+23sinx,sinx,x∈(0,π),且函数f(x)=OA·OM+2m-23·|AB|的最小值为12,求实数m的值.
答案　(1)∵MC=13MA+23MB,
∴MC-MB=13(MA-MB),
∴BC=∵BC,BA有公共点B,∴A,B,C三点共线.
∵BC=13BA,∴|BA||BC|=3.
(2)∵A(1,sin x),B(1+sin x,sin x),M1+23sinx,sinx,O(0,0),∴OA=(1,sin x),OM=1+23sinx,sinx,
∴OA·OM=1+23sin x+sin2x,又AB=(sin x,0),x∈(0,π),∴|AB|=sin x,
∴f(x)=OA·OM+2m-23·|AB|=sin2x+2msin x+1.
设t=sin x.∵x∈(0,π),∴t∈(0,1],
∴y=t2+2mt+1=(t+m)2+1-m2.
①当-m≤0,即m≥0时,y=t2+2mt+1无最小值,不合题意;
②当0<-m≤1,即-1≤m<0时,当t=-m时,ymin=1-m2=12,∴m=-22m=22舍去;
③当-m>1,即m<-1时,当t=1时,ymin=2+2m=12,
∴m=-34,此时m>-1,不合题意.
综上可知,m=-22.