自适应预处理GMRES(m)算法.docx

该【自适应预处理GMRES(m)算法 】是由【niuwk】上传分享，文档一共【3】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【自适应预处理GMRES(m)算法 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。自适应预处理GMRES(m)算法
一、引言
随着科学技术的不断发展，线性代数问题在科学计算中被广泛应用，特别是在数值计算，工程计算等领域。GMRES算法因其稳定性和可靠性在求解大型稀疏矩阵方阵的最小二乘问题时被广泛应用。GMRES算法通常使用传统的GMRES(m)算法，该算法具有良好的性能，但需要预处理操作以提高算法的收敛速度和精度。在本文中，我们将介绍自适应预处理GMRES(m)算法的相关理论和实现细节，并对该算法的性能进行详细分析。
二、自适应预处理GMRES(m)算法概述
自适应预处理GMRES(m)算法是一种改进的GMRES(m)算法，它为GMRES(m)算法添加了自适应预处理过程。自适应预处理可以帮助算法在求解大规模稀疏线性方程组时提高收敛速度和精度。与传统的GMRES(m)算法相比，自适应预处理GMRES(m)算法不需要事先知道矩阵的分布模式和特征值，因此可以更加通用。
自适应预处理GMRES(m)算法的过程如下：假设我们要求解一个方程组Ax=b，其中A是一个n×n的稀疏矩阵，b是一个n维向量。我们可以解决一个已经加权的方程组Ax̂=b̂，其中Ax̂和b̂是根据现有的迭代次数生成的近似值。在此基础上，我们可以使用预处理器P来求解一个改进的方程组P-1Ax̂=P-1b̂。这样做可以使得GMRES(m)算法在迭代的过程中可能收敛得更快，并提高其数值稳定性。整个过程如下：
1. 初始化x0=0，r0=b-Ax0，β0=||r0||，v1=r0/β0。
2. 对于k=1,2,…,m，执行以下步骤：
a) qk=Avk，对于i=1,2,…,k，执行以下步骤：
i) hi,k=viTqi
ii) qk=qk-hi,kvi
b) rk=qk/||qk||，更新向量集合V={v1, v2, … , vk, rk}，得到k+1个向量{v1, … , vk, rk+1}。
c) 将向量集合V正交化，得到Krylov空间Km(A,r0)的一组正交基{v1, … , vm}。
d) 对于i=1,2,…,k，通过回归方法计算c1,c2,…,ck，使得
Pm(A)r0=ckv1+…+ckvkm+βkm+1rm+1
其中βkm+1=||qk+1||。
e) 在有限的k次迭代中，当前的解xk可以表示为：
xk=x0+Vmyn
其中Vm=[v1, v2, … , vk]，yn=[y1, y2, … , yk]。
f) 对于下一个迭代步骤，我们将rk+1设为
rk+1=P-1(A)r̂ k+1
其中
Â=PTk+1APk+1，r̂k+1=Pk+1rBR
其中Pk+1是k+1阶Givens转换的乘积，Tk+1是k+1维上的Hessenberg矩阵，由Arnoldi过程计算获得，rB是一个向量。
三、自适应预处理GMRES(m)算法的性能
自适应预处理GMRES(m)算法的性能主要由以下几个方面决定：
1. 迭代的次数：自适应预处理GMRES(m)算法通过引入自适应预处理过程，可以加速收敛速度，从而减少需要迭代的次数。因此，与传统的GMRES(m)算法相比，自适应预处理GMRES(m)算法可以在更少的迭代次数内获得更高的精度。
2. 预处理误差：自适应预处理GMRES(m)算法通过预处理矩阵P来改善算法的性能。但是，由于预处理矩阵的近似误差，可能会导致算法的数值稳定性下降。因此，在实际应用中需要进行适当的预处理算法调整，以保证算法的数值稳定性。
3. 矩阵的性质：自适应预处理GMRES(m)算法适用于一般的线性方程组，但其性能可能会受到矩阵的性质的影响。例如，当矩阵具有强相关性或高度不规则时，算法的收敛速度可能会变慢，或者需要更多的迭代次数才能获得相同的精度。
四、自适应预处理GMRES(m)算法的实现
自适应预处理GMRES(m)算法的实现需要考虑以下几个方面：
1. 预处理矩阵的求解：自适应预处理GMRES(m)算法需要求解预处理矩阵P，可以使用预处理技术，例如Jacobi或Gauss-Seidel等。
2. 向量集合V的构建：在GMRES(m)算法的每次迭代中，需要使用一个已有的向量集合V进行正交化处理。为了避免向量集合中向量之间的线性相关性，我们可以使用re-orthogonalization技术。
3. 回归方法的求解：在自适应预处理GMRES(m)算法的每次迭代中，需要回归计算系数c1,c2,…,ck，以便可以计算Pm(A)r0。回归计算通常使用QR分解求解。
4. 自适应预处理算法的调整：在实际应用中，我们需要根据预处理算法的性质和矩阵的特性来适当调整自适应预处理GMRES(m)算法的参数，以保证算法的数值稳定性和收敛速度。
五、总结
自适应预处理GMRES(m)算法是GMRES(m)算法的一种改进版本，使用自适应预处理技术可以加速算法的收敛速度和数值稳定性。在应用过程中，我们需要考虑预处理矩阵的求解、向量集合的构建、回归方法的求解和自适应预处理算法的调整等问题。在实际应用中，我们还需要根据矩阵的特性和实际需求进行适当调整，以保证算法的性能和数值稳定性。