数学研究课题---空间几何体的外接球与内切球问题.doc

高中数学课题研究
几何体与球切、接的问题
纵观近几年高考对于组合体的考查,,要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力,,这部分知识学生掌握较为薄弱、认识较为模糊,,除了这类题目的入手确实不易之外,主要是学生没有形成解题的模式和套路,以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理. 下面结合近几年高考题对球与几何体的切接问题作深入的探究,以便更好地把握高考命题的趋势和高考的命题思路,,这部分内容以选择题、填空题为主,大题很少见. 
首先明确定义1:若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上,则称这个多面体是这个球的内接多面体,这个球是这个多面体的外接球。
定义2:若一个多面体的各面都与一个球的球面相切, 则称这个多面体是这个球的外切多面体,这个球是这个多面体的内切球.
1 球与柱体的切接
规则的柱体,如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合,以外接和内切两种形态进行结合,通过球的半径和棱柱的棱产生联系,然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.
球与正方体
如图所示,正方体,设正方体的棱长为,为棱的中点,:一是球为正方体的内切球,截面图为正方形和其内切圆,则;二是与正方体各棱相切的球,截面图为正方形和其外接圆,则;三是球为正方体的外接球,截面图为长方形和其外接圆,,解决正方体与球的组合问题,常用工具是截面图,即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面,通过两个截面图的位置关系,确定好正方体的棱与球的半径的关系,进而将空间问题转化为平面问题.
(1)正方体的内切球,如图1. 位置关系:正方体的六个面都与一个球都相切,正方体中心与球心重合; 
数据关系:设正方体的棱长为,球的半径为,这时有. 
(2)正方体的外接球,如图2. 位置关系:正方体的八个顶点在同一个球面上;正方体中心与球心重合; 
数据关系:设正方体的棱长为,球的半径为,这时有.
(3)正方体的棱切球,如图3. 位置关系:正方体的十二条棱与球面相切,正方体中心与球心重合; 数据关系:设正方体的棱长为,球的半径为,这时有.
例 1 棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上,分别是棱,的中点,则直线被球截得的线段长为( )
A. B. C. D.
思路分析:由题意推出,.
【解析】由题意可知,.
点评:本题考查球与正方体“接”的问题,利用球的截面性质,转化成为求球的截面圆直径.
球与长方体
例 2自半径为的球面上一点,引球的三条两两垂直的弦,求的值.
思路分析:此题欲计算所求值,应首先把它们放在一个封闭的图形内进行计算,所以应引导学生构造熟悉的几何体并与球有密切的关系,便于将球的条件与之相联.
【解析】以为从一个顶点出发的三条棱,将三棱锥补成一个长方体,则另外四个顶点必在球面上,故长方体是球的内接长方体,则长方体的对角线长是球的直径.
=.
点评:此题突出构造法的使用,以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中体积计算..
例 3已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积为( ).
A. B. C. D.
思路分析:,可得长方体的长、宽、高分别为2,2,4,长方体内接于球,它的体对角线正好为球的直径.
【解析】正四棱柱也是长方体。由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为2,因此,长方体的长、宽、高分别为2,2,4,因为长方体内接于球,,.
点评:本题考查球与长方体“接”的问题,利用长方体的性质,转化成为求其体对角线.
2 球与锥体的切接
规则的锥体,如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合,以外接和内切两种形态进行结合,通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系,然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.
 
(1) 正四面体的内切球,如图4. 位置关系:正四面体的四个面都与一个球相切,正四面体的中心与球心重合; 
数据关系:设正四面体的棱长为,高为;球的半径为,这时有;(可以利用体积桥证明) 
(2) 正四面体的外接球,如图5. 位置关系:正四面体的四个顶点都在一个球面上,正四面体的中心与球心重合; 数据关