第三章 条件平差.ppt

第三章条件平差
第一节条件平差原理
第二节条件方程
第三节精度评定
第四节条件平差算法与算例
第一节条件平差原理

在第二章已经给出条件平差有效期的数学模型
(3-1)
(3-2)

条件方程个数等于多余观测数r=n-t,n为观测值总数,t为要观测数。由于r<n,由(3-1)式不能求得V的唯一解,但可按最小二乘原理求V的最或然值,从而求出观测量的最或然值,又称平差值。
条件平差法就是要求在满足r个条件方程(3-1)下,求函数VrPV=min的V值,在数学中是求函数的条件极值问题。
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一、条件平差原理
设有r个平差值线性条件方程

(3-3)
式中aij(i=1,2,…,r; j=1,2,…,n)为条件方程系数,aio(i=1,2,…r)为条件方程的常数项。将的平差
值=L+V代入上式,得条件方程为

(3-4)
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式中Wi=(i=1,2,…,r)称为条件方程的闭分差,或称不符值,即

(3-5)
令

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则(3-3)式为(3-6)
同样,(3-4)为(3-7)
(3-5)式为(3-8)
按求函数极值的拉格朗日乘数法,设其乘数为 k=(k1,k2,…,kr)T,称为联系数向量。组成函数
,
将Ф对V求一阶导数,并令其为零,得
,

两边转置,得
PV=ATK,
得改正数V的计算公式为
V=P-1ATK=QATK (3-9)
上式称为改正数方程。
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将n个改正数方程(3-9)和r个条件方程(3-7)联立求解,就可以求得一组唯一的解:n个改正数和r个联系数。为此,将(3-7)和(3-9)式合称为条件平差的基础方程。显然,由基础方程解出的一组V,不仅能消除闭合差,也必能满足,VTPV=min的要求。
解算基础方程时,是先将(3-9)式代入(3-7)式,得 AQATK+W=0,
令(3-10)
则有 NaaK+W=0 (3-11)
上式称为联系数法方程,简称法方程。法方程系数阵Naa的秩R(Naa)=R(AQAT)=R(A)=r,即Naa是一个r阶的满秩方阵,且可逆。由此可得联系数K的唯一解。
当p为对角阵时,改正数方程(3-9)和法方程(3-11)的纯量形式分别为
(3-12)
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和

(3-13)
式中
(i=j=1,2,…,r) (3-14)
当P为非对角阵时,设

(3-15)
权阵P的逆阵为观测的协因数矩阵Q,
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设

(3-16)

因此,改正数方程(3-9)的纯量形式为
(i=1,2,…,n) (3-17)

法方程系数
(3-18)
从法方程解出联系数ki后,将ki值代入改正数方程,求出改正数V,再加上观测值L,得平差值
=L+V (3-19)
这样就完成了按条件平差求平差值的工作。
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二、条件平差计算步骤与算例

综合以上所述可知,按条件平有效期求平差值的计算步骤可归结为:
,列出条件方程(3-7)式,条件方程的个数等于多余观测数r。
,闭合差及观测值的权组成法方程(3-11)式,法方程的个数等于多余观测数r。
,求出联系数K值。
(3-9)式,求出V值,并求出平差值=L+V。
,常用平差值重新列出平差值条件方程(3-6)式,看其是否满足方程。
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第二节条件方程
从上节中可以看出,条件方程的组成是关键性的一步,如果这一步有误,即使在后续计算中不发生错误,也会导致平差结果的不正确,达不到平差的的最后目的。本节介绍常规测量中遇到的基本图形条件方程的组成。
一、水准网
二、测角网
三、测边网
四、边角网
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