同济高数课后习题答案解析.pdf

同济大学高等数学
一、求下列极限
i ) sin ( 2 x − 1
、 lim 2 ;
1 x → 1 x − 1
x 1 1 cos 2sin −(x −) ( )
= 0 解一: 原式= lim
x → 1 2 x
x 1 sin − 1 sin (x −) ( )
= 0 原 lim 式= lim
解二 x 1 →: x + 1 x → 1 x − 1
x 2
lim 2
2、 x → 0 sin 3 x
解一:
1 1 x 3 1 2 x
= ⋅= lim lim 原式= lim
x 0 → x 0 → x x x → 0 6sin3 x cos3 sin3 9 cos3x 9
解二:
1 x 2 x sin ~ 3 3 x x
= = lim 原式= lim
x → 0 x x 9 cos 9 3 x → 0 6 sin x cos 3 3 x
x x tan 2
lim
3、 x → 0 sin 3 2 x
x x tan ~2 2x ,sin3x ~3 2 2 x 2
原式= lim =
解: x → 0 (3 x )2 9
x
lim
4、 x → 0 ln(1 ) + x
1
= + = 1 原 lim式 1 = lim ( x )
解一: x → 0 x → 0 1
1 + x
解二:
1 1
= 1 = 原式= lim
x → 0 1 ln e
n1ln 1 ( + x )x
x
⎞⎛ x − 2
⎟ lim ⎜
5、⎠ x →∞⎝ x
x
−⋅−( 2 )
2
⎞⎛ 2 − 2
= 原−式= ⎟ lim 1 ⎜ e
解一: ⎠ x →∞⎝ x
解二:
1 1
−
x − 2 x ln 2 ln (x −−) x x − 2
i lim x ln lim
= e x = 原式 e = x lim x →∞e − x 2 x →∞− 1 −
x →∞
− 2 x
lim
= e = e x →∞ x − 2 − 2
1
i lim 2 3 ( − x ) x − 1
6、 x → 1
: 一解
令 x t −= 1 1
−⋅−( 2 ) − 2
= 原−式= lim e 2 1 ( t ) 2 t
t → 0
解二:
1
i 2) ( −
= −原+ 式= lim[1 )] 2 (2 x 2 2 − x
x → 1
1
= {lim[1 } e −)] 2 (2 + x 2 2 − 2 x − 2
x → 1
x x − sin
lim
7、 x → 0 x 3
o i 1 sin x cos 1 − x
= = lim原式= lim
x 解: →0 6 6 x x → 0 3 x 2
⎞ 1 ⎛ 1
⎟ lim ⎜−
⎠ 8、 x x → 1 ⎝ x − ln 1
解:
1
− 1
x 1 − 1 ln x x + −
= lim = lim 原式= lim x
x 1 → x 1 → x → 1 x − 1
−+ 1 x x x ln x 1)ln ( x − ln x +
x
1 − 1
= − lim =
n112 2 x → 1 1 1 ln x + +
⎞⎛ 2 + 1 + + ⋯ n n
⎟ 9、 lim ⎜−
⎠ n 2 →∞⎝ 2 + n
⎞⎛ 1
n ( + 1 ) 2 2
⎟⎜ 2 n n n n n −−+ 2
= − lim ⎟原式= lim ⎜
n →∞+ n ⎟ 2 n 2 →∞⎜ 2 + n ( )
解: ⎠⎝
− n 1
= − lim =
2 n →∞ 2 4 + n
x 3
i sin dt t 2
∫ 0
lim
、 lim 9
10 x → 0 x
: 解
6 x 1 sin 1 x 6 sin 3 x 2
= = lim 原式= lim
x →0 3 x 6 3 x → 0 9 x 8
x
arctan tdt
∫ 0
lim
11、 x →+∞ 2 。
x →+∞ 1 + x
rtn1 1 arctan x
解:原式
+ ⋅= 1 lim arctan = lim 1 x 2
x →+∞ x →+∞ 1 − x
2 ⋅ x (1 + x 2 ) 2
2
1 ππ