同济六版高等数学第七章第二节课件.ppt

§ 可分离变量的微分方程
一阶微分方程有时也写成如下对称形式
P(x y)dxQ(x y)dy0
在这种方程中变量x与y是对称的
如果一个一阶微分方程能写成
g(y)dyf(x)dx
的形式那么原方程就称为可分离变量的微分方程
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微分方程
分离变量
是否可分离变量
y2xy
3x25xy0
(x2y2)dxxydy=0
y1xy2xy2
y10xy
如果一个一阶微分方程能写成
g(y)dyf(x)dx (或写成y(x)(y))
的形式那么原方程就称为可分离变量的微分方程
可分离变量的微分方程
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讨论:
是
不是
不是
是
是
是
y1dy2xdx
dy(3x25x)dx
y(1x)(1y2)
10ydy10xdx
————
————
可分离变量的微分方程的解法
两端积分
方程G(y)F(x)C yF(x)或xY(y)都是方程的通解其中G(y)F(x)C称为隐式(通)解
求显式解
求方程由G(y)F(x)C所确定的隐函数
yF(x)或xY(y)
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如果一个一阶微分方程能写成
g(y)dyf(x)dx (或写成y(x)(y))
的形式那么原方程就称为可分离变量的微分方程
可分离变量的微分方程
分离变量
将方程写成g(y)dy f(x)dx的形式
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注
离变量得
解
这是一个可分离变量的微分方程.
两边积分得
即 ln|y|x2C1
加常数的另一方法
根据题意得微分方程
解
例2 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比已知t0时铀的含量为M0求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t变化的规律
初始条件为M|t0M0
将方程分离变量得
两边积分得
由初始条件得M0Ce0C
所以铀含量M(t)随时间t变化的