习题课
一、与定积分概念有关的问题的解法
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二、有关定积分计算和证明的方法
定积分及其相关问题
第五章
一、与定积分概念有关的问题的解法
1. 用定积分概念与性质求极限
2. 用定积分性质估值
3. 与变限积分有关的问题
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例1. 求
解: 因为
时,
所以
利用夹逼准则得
因为
依赖于
且
1) 思考例1下列做法对吗?
利用积分中值定理
原式
不对!
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说明:
2) 此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项.
如, P265 题4
解:将数列适当放大和缩小,以简化成积分和:
已知
利用夹逼准则可知
(考研98 )
例2. 求
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思考:
提示:由上题
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故
练习: 1.
求极限
解:
原式
2. 求极限
提示:
原式
左边
= 右边
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例3.
估计下列积分值
解: 因为
∴
即
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例4. 证明
证: 令
则
令
得
故
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例5.
设
在
上是单调递减的连续函数,
试证
都有不等式
证明:显然
时结论成立.
(用积分中值定理)
当
时,
故所给不等式成立.
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明对于任何
例6.
解:
且由方程
确定 y 是 x 的函数, 求
方程两端对 x 求导, 得
令 x = 1, 得
再对 y 求导, 得
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故
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