高等数学课件（第五版）---D12习题课(2).ppt

二阶微分方程的
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习题课(二)
二、微分方程的应用
解法及应用
一、两类二阶微分方程的解法
第十二章
一、两类二阶微分方程的解法
1. 可降阶微分方程的解法—降阶法
令
令
逐次积分求解
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2. 二阶线性微分方程的解法
常系数情形
齐次
非齐次
代数法
欧拉方程
练习题: P327 题 2 ; 3 (6) , (7) ;
4(2); 8
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解答提示
P327 题2 求以
为通解的微分方程.
提示: 由通解式可知特征方程的根为
故特征方程为
因此微分方程为
P327 题3 求下列微分方程的通解
提示: (6) 令
则方程变为
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特征根:
齐次方程通解:
令非齐次方程特解为
代入方程可得
思考
若(7) 中非齐次项改为
提示:
原方程通解为
特解设法有何变化?
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P327 题4(2) 求解
提示: 令
则方程变为
积分得
利用
再解
并利用
定常数
思考
若问题改为求解
则求解过程中得
问开方时正负号如何确定?
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P327 题8 设函数
在 r > 0
内满足拉普拉斯方程
二阶可导, 且
试将方程化为以 r 为自变
量的常微分方程, 并求 f (r) .
提示:
利用对称性,
即
( 欧拉方程)
原方程可化为
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解初值问题:
则原方程化为
通解:
利用初始条件得特解:
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特征根:
例1. 求微分方程
提示:
故通解为
满足条件
解满足
处连续且可微的解.
设特解:
代入方程定 A, B, 得
得
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处的衔接条件可知,
解满足
故所求解为
其通解:
定解问题的解:
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