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圆锥曲线的共同性质
【教学目标】
知识与技能
通过本节的学习,掌握圆锥曲线的共同性质,理解离必率、焦点、准线的意义。
过程与方法
教材通过多媒体课件演示连续变化的圆锥曲线,通过观察、类比、归纳总结得出圆锥曲线的共同性质。
情感、态度与价值观
通过本节的学习,可以培养我们观察、猜想、归纳、推理的能力,感受圆锥曲线的统一美。
【教学重点】圆锥曲线第二定义的推导
【教学难点】对圆锥曲线第二定义的理解与运用
【教学方法】讨论发现法
【教学过程】
一、知识回顾
1、思考: 在推导椭圆的标准方程时,我们曾得到这样的一个式子:,
将其变形为:
,
你能解释这个式子的意义吗?
这个式子表示一个动点P(x,y)到定点(c,0)与到定直线的距离之比等于定值,那么具有这个关系的点的轨迹一定是椭圆吗?
二、新课讲解
例1 已知点点P(x,y)到定点F(c,0)的距离与到定直线的距离之比是常数,求点P的轨迹。
解:由题意可得
化简得
。
令,则上式可以化为
这是椭圆的标准方程。
所以点P的轨迹是焦点为(c,0),(-c,0),长轴长、短轴长分别为2a、2b的椭圆。
变式若将条件改为呢?
由上例知,椭圆上的点P到定点F的距离和它到一条定直线(F不在上)的距离的比是一个常数,这个常数就是椭圆的离必率
类似地,可以得到:双曲线上的点P到定点F(c,0)的距离和它到定直线()的距离的比是一个常数,这个常数就是双曲线的离心率。
圆锥曲线的共同定义:圆锥曲线上的点到一个定点F和到一条定直线(F不在定直线上)的距离之比是一个常数。
这个常数叫做圆锥曲线的离心率,定点F就是圆锥曲线的焦点,定直线就是该圆锥曲线的准线。
注:
椭圆的离心率满足0<<1,双曲线的的离心率>1,抛物线的的离心率=1。
根据图形的对称性知,椭圆和双曲线都有两条准线,对于中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆或双曲线,准线方程都是;对于中心在原点,焦点在y 轴上的椭圆或双曲线,准线方程都是。
圆锥曲线的定义深刻提