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二次函数专题四: 平移对称旋转问题
引子:平移问题以前讲过了,现在重点将对称旋转问题
我们知道(a,b)关于x轴对称的点的坐标为(a,-b),
关于y轴对称的点的坐标为(-a,b),
关于原点对称的点的坐标为(-a,-b),
关于直线x=m的对称点为(2m-a,b),
关于直线y=n的对称点为(a,2n-b),
关于点(m,n)的对称点为(2m-a,2n-b)
逆时针旋转90°的坐标为(-b,a),
顺时针旋转90°的坐标为(b,-a)
任意两点(x1,y1)和(x2,y2)的中点为
对于抛物线关于x轴、y轴、x=a、y=b的对称抛物线,应该都会了吧,现在重点讲解抛物线关于某点(m,n)的对称抛物线解析式(其他旋转、平移、关于直线对称都可以用这个方法解决),为了方便,选取抛物线的顶点式来证明
例:对于一个抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)来说,坐标为(x,y)的所有点都在他的图像上,关于(m,n)的对称点为(2m-x,2n-y),那么坐标为(2m-x,2n-y)都在抛物线关于(m,n)对称的抛物线上,我们把(2m-x,2n-y)代入y=a(x-h)2+k(a≠0)就可以得到它关于(m,n)对称的抛物线的解析式为2n-y=a(2m-x-h)2+k,变形为
y=-a(x-2m+h)2+2n-k
现在利用待定系数法来验证这个方法是否正确
首先y=a(x-h)2+k(a≠0)和它关于点(m,n)的对称的抛物线的开口大小是一样的,所以二次项系数的绝对值是相同的,由于关于点对称,开口方向是相反的,故二次项系数互为相反数;其次原抛物线与对称抛物线的顶点是关于(m,n)对称的,原抛物线的顶点为(h,k),它关于(m,n)的对称点的坐标为(2m-h,2n-k),那么对称抛物线的解析式可以写成y=-a(x-2m+h)2+2n-k,和利用上述方法所得结果一致
1、已知抛物线C1:y=ax2-2amx+am2+2m+1(a>0,m>1)的顶点为A,抛物线C2的对称轴是y轴,顶点为B,且抛物线C1和C2关于P(1,3)成中心对称
用含m的代数式表示抛物线C1的顶点坐标
求m的值和抛物线C2的解析式
设抛物线C2与x正半轴的交点是C,当△ABC为等腰三角形时,求a的值
思路点拨:(1)很多人一看到求抛物线的顶点,习惯使用顶点的坐标公式来求,如果你熟悉因式分解和抛物线的顶点公式是如何得到的,那么这个题明显利用配方更容易得到顶点坐标,y=a(x-m)2+2m+1,故顶点坐标为(m,2m+1)
C1和C2关于点对称,利用上述方法容易求出C2的解析式和顶点坐标,易知m=2
解:(1)由于抛物线C1:y=ax2-2amx+am2+2m+1=a(x-m)2+2m+1,
故抛物线C1的顶点A(m,2m+1).
(2)分别过A、P作y轴的垂线,设垂足为F、E;
∵A、B关于P点呈中心对称,
∴AB=2BP;
∴PE是△ABF的中位线,即AF=2PE=2,
故m=2,A(2,5);
设直线AP的解析式为y=kx+b,则有:
,
解得k=2,b=1,
∴直线AP:y=2x+1,
故B(0,1);
由于抛物线C1和C2关于P(1,3)成中心对称,且顶点B(0,1),则:
抛物线C2:y=-ax2+1.
(3)设C(x,0),