2011年东城区高三二模数学(文)试题及答案.doc

北京市东城区2010-2011学年度综合练习(二)
高三数学 (文科)
一、本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
18、(本小题共13分)
已知函数().
(Ⅰ)若,求证:在上是增函数;
(Ⅱ)求在上的最小值.
19、(本小题共14分)
已知椭圆的中心在原点,离心率,短轴的一个端点为,点为直线与该椭圆在第一象限内的交点,平行于的直线交椭圆于两点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)求证:直线,与轴始终围成一个等腰三角形.
20、(本小题共14分)
已知为两个正数,且,设当,时,.
(Ⅰ)求证:数列是递减数列,数列是递增数列;
(Ⅱ)求证:;
(Ⅲ)是否存在常数使得对任意,有,若存在,求出的取值范围;若不存在,试说明理由.
北京市东城区2010-2011学年度第二学期综合练习(二)
高三数学参考答案(文科)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
1、B 2、A 3、C 4、A
5、C 6、B 7、C 8、A
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
9、 10、 11、
12、 13、 14、
注:两个空的填空题第一个空填对得2分,第二个空填对得3分.
三、解答题(本大题共6小题,共80分)
15、(共13分)
解:(Ⅰ)因为,且,
所以,.
因为
所以. ……………………6分
(Ⅱ)因为
,.
因为,所以,当时,取最大值;
当时,取最小值.
所以函数的值域为. …………………13分
16、(共13分)
(Ⅰ)证明:由,时,,解得.
因为,则,
所以当时,,
整理得.
又,
所以是首项为1,公比为的等比数列. ……………………6分
Ⅱ、解:因为,
由,得.
可得
=,(),
当时也满足,
所以数列的通项公式为. ……………………13分
17、(共13分)
证明:(Ⅰ)连结,与交于点,连结.
因为,分别为和的中点,
所以∥.
又平面,
平面,
所以∥平面. ……………………6分
(Ⅱ)在直三棱柱中,
平面,又平面,
所以.
因为,为中点,
,
所以平面.
又平面,
所以.
因为四边形为正方形,,分别为,的中点,
所以△≌△,.
所以.
所以.
又,
所以平面. ……………………13分
18、(共13分)
(Ⅰ)证明:当时,,
当时,,
所以在上是增函数. ……………………5分
(Ⅱ)解:,
当时,,
在上单调递增,最小值为.
当,当时,单调