高等数学第十二章无穷级数.ppt

三、幂级数和函数的求法
四、函数的幂级数展开法
一、数项级数的审敛法
二、求幂级数收敛域的方法
第九章
主要内容
求和
展开
(在收敛域内进行)
基本问题:判别敛散性;
求幂级数收敛域;
求和函数;
函数展开成幂级数.
当时为数项级数;
当时为幂级数;
为傅立叶级数.
为傅氏系数)时,
*当
对于函数项级数
1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性
2. 正项级数审敛法
必要条件
不满足
发散
满足
根值审敛法
收敛
发散
不定
比较审敛法
用其它方法判别
*积分判别法
部分和极限
比值审敛法
一、数项级数的审敛法
正项级数比较审敛法
设与是两个正项级数,且
则:⑴若级数收敛,则级数也收敛;
⑵若级数发散,则级数也发散.
常用来比较的级数:
级数
当时收敛,
当时发散.
(1)
例如
(2)等比级数
例如
极限形式的比较审敛法设与是两个正项级数,且
⑴若
则级数与级数同时收敛,同时发散;
⑵若且级数收敛,则级数收敛;
⑶若且级数发散,则级数发散.
3. 任意项级数审敛法
Leibniz判别法: 若
且
则交错级数
收敛,
为收敛级数,
概念: 设
且余项
若
收敛,
称
绝对收敛,
若
发散,
称
条件收敛.
例1 判别下列级数的敛散性:
解答提示: (1)
据极限形式的比较判别法, 原级数发散.
因调和级数发散,
利用比值判别法, 可知原级数发散.
用比值法, 可判断级数收敛
再由比较法可知原级数收敛.
利用比值判别法, 可知原级数在时发散, 时收敛; 时仅当收敛.
例2 讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:
提示: (1)
P >1 时, 绝对收敛;
0 < p ≤1 时, 条件收敛;
p≤0 时, 发散.
(2) 因各项取绝对值后所得强级数收敛,
原级数绝对收敛.
故