空间直角坐标平面和直线.doc

第三章二次曲面
:
1);
解:原方程化为:,则球面中心(6,-2,3),半径R=7
2);
解:原方程化为:,则球面中心(1,-2,3),半径R=6
3)。
解:原方程化为:,则球面中心(-4,0,0),半径R=4
:
1)
解:球面方程为:,则球面心0(6,-2,3),半径R=5
球心O到平面a:2x+y+z+1=0的距离
∴平面a与球不相交故只能形成虚圆。
2)
解:球心O(0,0,0),半径为R,则:
球心O到平面的距离
要能形成圆,则球面必须与平面相交,即:
设球O到平面上的垂足为为球面与平面相交所形成的圆的圆心,即
平面,又设:,则:
,即:
设圆的半径为r,则:r=
∴圆的中心,
半径r=
:
1)过点(1,-1,1),(1,2,-1),(2,3,0)和坐标原点;
解:设球面方程为:,则:
∴所求球面方程为:
2)过点(1,2,5),与三个坐标平面相切;
解:设球面方程为:,则:
∴所求球面方程为:
3)过点(2,-4,3),且包含圆:。
解:由题可知球心在z轴,设球心坐标为(0,0,C),则:球的半径为:R2=C2+5
设球的方程为:,则:4+16+(3-c)2=c2+5 ∴c=4
∴所求球的方程为:
、对称轴为的圆柱面的方程。
解:法一:设点(x, y, z)为圆柱面上任意一点,则该点到对称轴的距离为:
∵d=2 ∴
即:
∴所球圆柱面的方程为:
法二:∵对称轴方程为∴对称轴过原点(0,0,0)
设为圆柱面上任意一点,再在对称轴上取一点
使得对称轴,由题意有:
对称轴
在对称轴上
消去参数得圆柱面方程为:
:,且知点M(1,-2,1)在这个圆柱面上,求这个圆柱面的方程。
解:法一:圆柱面的对称轴:
点M到对称轴的距离为:
设点(x, y, z)为圆柱面上的任意一点,则:
即:
∴所球圆柱面的方程为:
法二:设圆柱面的对称轴为
即M(1,-2,1)到l的距离:,l过点A(0,1,-3)
设点P(x, y, z)为圆柱面上的任意一点,则:为对称轴上一点,使得:
PM0在同一纬圆上,且M0为该纬圆的圆心,依题意有:

在l上
消去数得圆柱方程为:
(1,2,3),轴与平面2x+2y-z+1=0垂直、母线和轴夹角为的圆柱面的方程。
解:设顶点A(1,2,3),在圆锥面上任取一点M(x, y, z),则过点A,M的直线l的方向数为(x-1, y-2, z-3)因轴与平面2x+2y-z+1=0垂直,则轴的方向数为(2,2,-1),即轴的方向余弦为(),直线l的方向余弦为因直线l与轴的夹角为,则:
整理即得圆锥面方程为:
(1,2,4),轴与平面垂直且经过点(3,2,1)的圆锥面的方程。
解:设M(1,2,4),P0(3,2,1),=(2,0,-3)轴的方向数为:(2,2,1)
的夹角为:
设点P(x, y, z)是圆锥面上的任意一点,则:
以: 即:
∴所求圆锥面的方程为:
,求
1)过点(1,5,2)的切平面的方程;
解:球面方程为:
平面的法向量为:(2,3,4)
∴所求平面方程为:
2)以(2,6,10)为顶点的切锥面的方程。
解:球心0(-1,2,-2),半径R=,切锥面顶点P(2,6,10)
轴的方向数为: 轴与母线夹角的余弦为:
设点M(x, y, z)为切锥面上的点,则:
故:所求方程为:
。
解:法一:由题知圆柱面的轴线的方向数为(1,1,1),
设点A(x1, y1, z1)在轴线上,则:

令x1=1,则:A(1,0,2) 轴线方程为:x-1=y=z-2
母线与轴线间的距离为:,设点P(x, y, z)为圆柱面上的任意一点,则:

即
故:所求圆柱面的方程为:
法二:因三条母线,分别过定点A1(0,0,0),A2(1,-1,0),A3(1,-1,0),设过A1,A2,A3后平面
则有:则:A=B=C,D=0
即平面,则圆柱面的准线为平面相交所形成的圆,设圆的方程为:
∵A1(0,0,0),A2(-1,0,1),A3(1,-1,0)在圆上,则有
∵C是任意的∴取C=0,则:A=2,B=4,C=0,D=0
故准线方程为:
设M0(x0, y0, z0)是准线上的任意一点,M(x, y, z)为相应母线上一点,则有:
消去参数,得圆柱面方程:
:
1)准线为: 母线平行于X轴;
解:母线的方向数为(1,0