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李雅普诺夫稳定性方法
对于现代控制理论涉及的更广泛类型的系统,通常采用李雅普诺夫稳定性判据。李雅普诺夫第一方法又称间接法,它是通过系统状态方程的解来判断系统的稳定性。李雅普诺夫第二方法又称直接法,它不通过系统状态方程的解来判断系统的稳定性,而是借助李雅普诺夫函数对稳定性作出判断,是从广义能量的观点进行稳定性分析的。例如有阻尼的振动系统能量连续减小(总能量对时间的导数是负定的),系统会逐渐停止在平衡状态,系统是稳定的。由于李雅普诺夫第一方法求解是非常烦琐的,因此李雅普诺夫第二方法获得更广泛的应用。李雅普诺夫第二方法的难点在于寻找李雅普诺夫函数。现在已有一些典型系统寻找李雅普诺夫函数的方法,但迄今尚没有通用于一切系统的构造李雅普诺夫函数的方法。
对于系统,平衡状态为满足。如果存在一个标量函数,它满足对所有都具有连续的一阶偏导数;同时满足是正定的;则
(1)若沿状态轨迹方向计算的时间导数为半负定,则平衡状态稳定;
若为负定,或虽然为半负定,但对任意初始状态不恒为零,则平衡状态渐近稳定。进而当,则系统大范围渐近稳定;
若为正定,则平衡状态不稳定。
V(x)通常选为二次型,判断二次型的正定性可由赛尔维斯特(Sylvester)准则来确定,即正定(记作V(x)>0)的充要条件为P的所有主子行列式为正。如果P的所有主子行列式为非负,为正半定(记作V(x)≥0);如果-V(x)为正定,则V(x)为负定(记作V(x)<0);如果-V(x)为正半定,则V(x)为负半定(记作V(x)≤0)。
例

例

可见,(0,0)是唯一的平衡状态。设正定的标量函数为
故系统在坐标原点处为大范围渐近稳定。