论文 矩阵相似的若干判定方法.doc

长沙学院信息与计算科学系
本科生科研训练
矩阵相似的若干判定方法
系部:信息与计算科学系
专业:数学与应用数学
学号:2009031112
姓名:杨文升
成绩:
2012年6月
矩阵相似的若干判定方法
杨文升
长沙学院信息与计算科学系,湖南长沙,410022
摘要:高等代数课程范围内,矩阵是一个很重要的基本问题。矩阵相似是矩阵中很重要的一种关系,矩阵的相似涉及到矩阵,矩阵可逆,同时矩阵相似可应用于两分块矩阵中和求可逆矩阵中。在这里我们着重讨论了矩阵相似的基本概念和其性质。并且总结了几个重要的判定矩阵相似的定理和结论,以便我们能对矩阵的相似有进一步的了解。
关键词: 矩阵相似,矩阵,可逆矩阵,分块矩阵
绪言
,,让我们对矩阵的相似有进一步的认识.
1 有关概念
定义1[1] 设,为数域上两个级矩阵,如果可以找到数域上的级可逆矩阵,使得

就说相似记作
定义2[3] 设是数域上的多项式,以为元素的矩阵
称为矩阵。
记为数域P的矩阵的全体)。
定义3[3] 相似关系为数域上的阶矩阵之间的等价关系,对任何,集合
称为矩阵形成的等价类。
2 矩阵相似的性质
性质1[1] 反身性:;这是因为

性质2[1]对称性:如果,那么;如果,那么
有X,使

令

就有

所以。
性质3[1] 传递性:如果,,那么。已知有,使
令,就有
因此,。
3 n级矩阵相似的判定有关的引理和定理
引理1[2] 设是数域P上的一个矩阵,则存在数域上的可逆矩阵,使得为上三角矩阵。
引理 2[2] 设,是数域上的两个级矩阵,则与相似的充分必要条件是存在数域上的两个可逆的矩阵,使得
(1)
且A与B相似时有,这里是在时的左值。
定理1[2] 设,是数域上的两个级矩阵,则与相似的充分必要条件是存在数域上的可逆的矩阵,使得
(2)
且与相似时有,这里是在时的左值。
,可逆,把(2)式两端同时右乘上得
令
,
则可逆,且
,
由引理2得,与相似。

(1)式中令
即得(2)式。当A与B相似时,由引理2得,这里是在时的左值。
定理 2[2] 设,是数域上的两个级矩阵,则与相似的充分必
要条件是存在数域上的可逆的矩阵,使得
(3)
且与相似时有,这里是在时的左值。
,把(3)式两端同时左乘上得:
令
则可逆,且
由定理1得,与相似。
(2)式中令
即得(3),由引理2得,这里是在时的左值。
例题1[2] ,并在相似时求可逆矩阵,使得.
解
所以,与相似。令
则
令
则
定理3[3] 对于数域上的阶矩阵,,有的充要条件是
证明假定,因为因此,即.
反之:若,对则,于是存在非奇异矩阵使得
又由于,于是存在非奇异矩阵Q使得
于是
即。于是因此
同理可证
于是
定理得