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金融工程第六章作业
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假设你预测某个地区气温时拥有三种信息,(1)目前的气温;(2)气温的历史;(3)这个地区气温的季节性平均气温和变化趋势等特征。试问,如果该地区气温服从马尔可夫过程,你认为上述哪些信息有用,哪些信息无用?
股票A和股票B均符合几何布朗运动,在任何短时期内二者的变化是不相关的。请问由一股股票A和一股股票B构成的证券组合的价值是否遵循几何布朗运动?请解释原因。
股票价格所服从的几何布朗运动可以写为,其中的和均为常数。试问:它与(1)、(2)和(3)有何不同,为什么几何布朗运动是最适合于描述股票价格的随机过程?
试推导Ito定理:假设变量x的值遵循Ito过程,则基于x和t的函数G遵循如下的随机过程:。
利率所遵循的随机过程通常被描述为,其中a、b和c均为正的常数。dz是维纳过程。试描述这一随机过程的特性,分析为什么利率要采用这样的随机过程形式?
试在excel中用以下随机过程模型模拟出股票价格路径。
,其中。
P132 3-6题
某股票价格遵循几何布朗运动,期望收益率为16%,波动率为25%。现价为$38。
计算基于该股票的欧式看涨期权被执行的概率,该期权执行价格为$40,6个月后到期。
计算其他条件相同的看跌期权被执行的概率。
如果股票价格服从对数正态分布,求未来T时刻股票价格95%的置信区间是多少?
试证明,而N(d2)是在风险中性世界中ST大于X的概率。
答案:
1. 由于
在本题中,S=50,m=,s=,Dt=1/365=,
DS/50~f(´,´)
=f(,)
DS~f(,)
因此,,,在95%-´+´,。
如果采用252天(),,,。
(1)假设X1和X2的初始值分别为a1和a2。经过一段时间T后,X1的概率分布为:
X2的概率分布为:
根据独立的正态分布变量之和的性质,可求X1和X2的概率分布为:
这表明,X1和X2遵循漂移率为,方差率为的普通布朗运动。
(2)在这种情况下,X1和X2在短时间间隔Δt之内的变化的概率分布为:
如果都是常数,则X1和X2在较长时间间隔T之内的变化的概率分布为:
这表明,X1和X2遵循漂移率为,方差率为+ 的普通布朗运动。
3. 气温的历史信息无用。
4. 由一股股票A和一股股票B构成的证券组合的价值不再遵循几何布朗运动。
证明:由于股票A和股票B均遵循几何布朗运动,意味着;
由于在任何短时期内二者的变化是不相关的,则
显然不能写成。
因此由一股股票A和一股股票B构成的证券组合的价值不再遵循几何布朗运动。
5. 几何布朗运动中,股票价格的相对预期增长率和波动率都是常数,实际增长绝对价格,和实际的波动幅度则随着价格水平的变化而变化。
(1)中,股票价格的预期增长和波动幅度都是常数,无论标的资产价格水平是多少。这显然不