机械臂运动学..doc

机械臂运动学基础
1、机械臂的运动学模型
机械臂运动学研究的是机械臂运动,而不考虑产生运动的力。运动学研究机械臂的位置,速度和加速度。机械臂的运动学的研究涉及到的几何和基于时间的内容,特别是各个关节彼此之间的关系以及随时间变化规律。
典型的机械臂由一些串行连接的关节和连杆组成。每个关节具有一个自由度,平移或旋转。对于具有n个关节的机械臂,关节的编号从1到n,有n +1个连杆,编号从0到n。连杆0是机械臂的基础,一般是固定的,连杆n上带有末端执行器。关节i连接连杆i和连杆i-1。
一个连杆可以被视为一个刚体,确定与它相邻的两个关节的坐标轴之间的相对位置。一个连杆可以用两个参数描述,连杆长度和连杆扭转,这两个量定义了与它相关的两个坐标轴在空间的相对位置。而第一连杆和最后一个连杆的参数没有意义,一般选择为0。一个关节用两个参数描述,一是连杆的偏移,是指从一个连杆到下一个连杆沿的关节轴线的距离。二是关节角度,指一个关节相对于下一个关节轴的旋转角度。
为了便于描述的每一个关节的位置,我们在每一个关节设置一个坐标系, 对于一个关节链,Denavit和Hartenberg提出了一种用矩阵表示各个关节之间关系的系统方法。对于转动关节i,规定它的转动平行于坐标轴zi-1,坐标轴xi-1对准从zi-1到zi的法线方向,如果zi-1与zi相交,则xi-1取zi−1 ×zi的方向。连杆,关节参数概括如下:
连杆长度ai 沿着xi轴从zi-1和zi轴之间的距离;
连杆扭转αi 从zi-1轴到zi轴相对xi-1轴夹角;
连杆偏移di 从坐标系i-1的原点沿着zi-1轴到xi轴的距离;
关节角度θi xi-1轴和xi轴之间关于zi-1轴的夹角。
对于一个转动关节θi是关节变量,di是常数。而移动关节di是可变的,θi是恒定的。为了统一,表示为
运用Denavit-Hartenberg(DH)方法,可以将相邻的两个坐标系之间的变换关系表示为一个4x4的齐次变换矩阵
上式表示出了坐标系i相对于坐标系i-1的关系。即
其中表示坐标系i相对于世界坐标系0的位置与姿态,简称位姿。
2、正向和反向运动学
对于一个n-轴刚性连接的机械臂,正向运动学的解给出的是最后一个连杆坐标系的位置和姿态。重复利用上式,得到
机械臂末端位姿在笛卡尔坐标系中有6个自由度,3个平移,3个旋转。所以,一般来说具有6个自由度的机械臂可以使末端实现任意的位姿。
总的机械臂变换一般简写为Tn,对6个自由度的机械臂简写为T6。对于任意的机械臂,无论其它有多少个关节,具有什么结构,正向运动学解都是可以得到的。
在机械臂的路径规划中,用到的是反向运动学的解,它给出了特定的末端位姿对应的机械臂的关节角度。一般来说,反向运动学的解不是唯一的,对具有某种结构的机械臂,封闭解可能不存在。
对于6自由度的机器人而言,运动学逆解非常复杂,一般没有封闭解。只有在某些特殊情况下才可能得到封闭解。不过,大多数工业机器人都满足封闭解的两个充分条件之一(Pieper准则)
(1)三个相邻关节轴交于一点
(2)三个相邻关节轴相互平行
如果机械臂多于6个关节,称关节为冗余的,这时解是欠定的。如果对于机械臂某个特别的位姿,解不存在,称这个位姿为奇异位姿。机械臂的奇异性可能是由于机械臂中某些坐标轴的重合,或位置不能达到引起的。
机械臂的奇异位姿分为两类:
(1)边界奇异位姿,当机械臂的关节全部展开或折起时,使得末端处于操作空间的边界或边界附近,雅克比矩阵奇异,机械臂的运动受到物理结构的约束,这时机械臂的奇异位姿称为边界奇异位姿。
(2)内部奇异位姿,两个或两个以上的关节轴线重合时,机械臂各个关节的运动相互抵消,不产生操作运动,这时机械臂的奇异位姿称为内部奇异位姿。
机械臂运动学逆解的方法可以分为两类:封闭解和数值解、在进行逆解时总是力求得到封闭解。因为封闭解的计算速度快,效率高,便于实时控制。而数值解法不具有这些特点。机械臂运动学的封闭逆解可通过两种途径得到:代数法和几何法。
一般而言,非零连杆参数越多,到达某一目标的方式也越多,即运动学逆解的数目也越多。
在从多重解中选择解时,应根据具体情况,在避免碰撞的前提下通常按“最短行程”准则来选择。同时还应当兼顾“多移动小关节,少移动大关节”的原则。
n个自由度的机械臂的末端位姿由n个关节变量所决定,这n个关节变量统称为n维关节矢量,记为
q。所有的关节矢量构成的空间称为关节空间。机械臂末端的位姿用6个变量描述,3个平移(x,y,z)和3个旋转(wx, wy, wz),记x=(x,y,z, wx, wy, wz),x是机械臂末端在基坐标空间中的坐标,所有的矢量x构成的空间称为操作空间或作业定向空间。工作空间是操作臂的末端能够到