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第二章逻辑代数基础
用数学方法表示命题陈述的逻辑结构,将形式逻辑归结为代数演算,称为“布尔代数”。将布尔代数用于集成电路逻辑门,称为逻辑代数。

逻辑代数的基本概念
逻辑代数由逻辑变量集 K,常量 0 和 1,以及“或”、“与”、“非”三种基本运算所构成。该系统满足以下公理,对应不同的律。
交换律: ,
结合律: ,
分配律:

0 – 1 律:
互补律:
逻辑变量和基本逻辑运算
逻辑变量取值 0 或 1,用开关的通与断、电压的高与低、晶体管的导通与截止来表征。可通过逻辑变量和“或”、“与”、“非”组合的逻辑算式描述数字系统。
1.“或”运算
决定某一事件发生的条件中有一个以上条件成立,事件便发生。这种因果关系称为“或”。记做:F = A + B 或 F = A∨ B。
运算法则为:0 + 0 = 0,0 + 1 = 1,1 + 0 = 1,1 + 1 = 1,见“1”为“1”。实现该运算的门电路称为“或”门。
2.“与”运算
决定某一事件发生的条件同时成立,事件便发生。这种因果关系称为“与”。记做:F = A • B 或 F = A∧B。
运算法则为:0 • 0 = 0,0 • 1 = 0,1 • 0 = 0,1 • 1 = 1,见“0”为“0”。实现该运算的门电路称为“与”门。
逻辑变量和基本逻辑运算
3.“非”运算
某一事件的发生取决于条件的否定,这种因果关系称为“非”。记做F = , 运算法则为:A 为 0 则 F 为 1,A 为 1 则 F 为 0。
+U A B +U
+U
F A F
B F
“或”示意图“与”示意图“非”示意图
逻辑函数的表示法

由变量通过“或”、“与”、“非”三种运算符进行组合,三种运算符的优先级排序为“非”、“与”、“或”。
逻辑函数的表示法
“与”运算符可省略,如,“非”运算、先“与”后“或”运算可省略括弧,如: , 。

用表格的形式描述逻辑函数的方法称为真值表。每个逻辑变量有两种取值,n 个变量有 2n 种取值组合。真值表左边一栏为变量,右边一栏为逻辑函数值。
例: 对应的真值表为:

将 n 个变量的 2n 种取值组合按某种顺序填
A B C
F
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
0
真值表
入小方格构成的平面图,构成一种描述逻辑函数的图形。称为卡诺图。
逻辑函数的基本定理和规则
基本定理
定理 1:0 + 0 = 0、0 + 1 = 1、1 + 0 = 1、1 + 1 = 1
0 • 0 = 0、0 • 1 = 0、1 • 0 = 0、1 • 1 = 1
定理 2:A + A = A、A • A = A
定理 3:A + A • B = A、A •(A + B)= A
定理 4:
定理 5:
定理 6: ,
定理 7:
定理 8:
重要规则

将逻辑式中所有出现同一变量的地方用某一逻辑函数代替,等式仍然成立。
例:A ( B + C ) = AB + AC,将所有出现 C 的地方都用( C + D ) 代替,则等式仍然成立。A ( B + ( C + D ) ) = AB + A ( C + D )。

将函数式中的“•”变成“+ ”,“+ ”变成“•”,“0”变成“1”,“1”变成“0”,原变量变成反变量,反变量变成原变量,并保持运算次序不变,得到的新函数为原函数 F 的反函数,这一规则称为反演规则。
例: ,则

将函数式中的“•”变成“+ ”,“+ ”变成“•”,“0”变成“1”,“1”变成“0”,并保持运算次序不变,得到的新的逻辑表达式为原函数式的对偶式,记做 F ’。F 与 F ’互为对偶式。
重要规则
例:
根据对偶规则,当两个逻辑表达式相等时,其对偶式也相等。如:
,则
复合逻辑

由与、非两种逻辑复合而成,实现与非逻辑的门电路称为与非门。逻辑表达式为: 。仅当输入全为 1 时 F 输出为 0,输入有一个为 0 时 F 输出为 1。用与非门可以实现与、或、非三种操作。
与
或
非
复合逻辑

由或、非两种逻辑复合而成,实现或非逻辑的门电路称为或非门。逻辑表达式为: 。输入全为 0 时 F 输出为 1,输入有一个为 1 时 F 输出为 0。用或非门也可以实现与、或、非三种操作。
与
或
非

由与、或、非三种