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将军饮马问题
看图思考:
为什么有的人会经常践踏草地呢?
绿地里本没有路,走的人多了……
禁止践踏
两点之间,线段最短
爱护草坪
将军饮马问题:
两线段之和最短这个问题早在古罗马时代就有了,传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者,,一位罗马将军专程去拜访他,向他请教一个百思不得其解的问题:
将军每天骑马从城堡A出发,到城堡B,途中
马要到小溪边饮水一次。将军问怎样走路程最短?
这就是被称为"将军饮马"而广为流传的问题。
P
两点之间线段最短.
根据:
B
A
(一)两点在一条直线两侧
:古希腊一位将军骑马从城堡A到城堡B,途中马要到小溪边饮水一次。问将军怎样走路程最短?
最短路线:
将军饮马:
A ---P--- B.
例1变式1:已知美羊羊在A地玩耍,这时喜羊羊在小溪的对面C玩耍,并且AC两地是关于小溪的对称点,它俩在小溪的任意一点E处汇合,再一起回家的最短路线是什么?
A
C
B
M
N
将军饮马:
:一位将军骑马从城堡A到城堡B,
途中马要到河边饮水一次,
问:这位将军怎样走路程最短?
A
B
河
两点在一条直线同侧
(二)一次轴对称:
B
A
B’
C
例2作法:
(1)作点B关于直线 MN 的对称点 B’
(2)连结B’A,交MN于点 C;
∴点C就是所求的点.
M
N
两点在一条直线同侧
(二)一次轴对称:
∴ BC+AC < BC ’+AC ’,即AC+BC最小.
N
A
B
C
B'
C'
∵直线MN是点B、B’的对称轴,
点C、C’在对称轴上,∴BC=B’C,BC’=B’C’.
在MN 上任取另一点C’,
连结BC、BC’、 AC’、 B’C’.
例2证明:
在△AB ’ C’中,AB ’< AC’+B ’ C’,
∴BC+AC = B’C+AC = B’A.
M
∴BC ’+AC ’= B’C ’+AC ’
两点在一条直线同侧
(二)一次轴对称:
练习:已知:P、Q是△ABC的边AB、AC上的点,你能在BC上确定一点R,使△PQR的周长最短吗?
两点在一条直线同侧
(二)一次轴对称:
R
P’