高中数学竞赛指导(第一讲).docx

第一讲函数的概念
赛点直击
函数的定义域
几种常见的初等函数的定义域.
已知下列函数:①y=﹙n∈Ν*﹚;②y=;③y=logQ(x)P(x);④y=tanP(x);⑤y=cotP(x).使各函数式有意义时,P(x),Q(x)的约束条件分别为:
P(x) ≥0;②Q(x) ≠0;
③ 0<Q(x)≠1且P(x)>0;④P(x) ≠kπ+﹙k∈Ζ﹚;
⑤P(x)≠kπ﹙k∈Ζ﹚
复合函数的定义域
已知函数f(x)的定义域为【a,b】,求函数y=f[g(x)]的定义域的问题。其解题步骤为由a≤g(x)≤b,解出x的范围,即为函数y=f[g(x)]的定义域.
若函数关系式是由图像给出的,则可由图像直接观察函数的定义域.
若函数关系式表示的是一个实际问题中的两个变量之间的关系,则要注意实际问题中变量的范围.
函数的值域
根据函数表达式的形式,值域的求法也各不相同,一般有以下几种求法:
配方法
如果所给出的函数是二次函数或可化为二次函数的形式,.
利用函数的单调性
如果所给出的函数是熟悉的已知函数的形式,,一定要注意其单调区间.
反函数法
若某函数存在其反函数,则可利用互为反函数的两个函数的定义域和值域的互反性,该求其反函数的定义域.
判别式法
若将y看成常数,所给函数y=f(x)便可看成是关于x的方程;若是关于x的二次方程,则可利用判别式Δ≥0来求y的取值范围,但需注意取等号的问题.
变量代换法
一个复杂的函数,如果将其中得到某个式子看成一个整体,通过变量代换,就可以化为我们熟知的表达式,这时要注意所代换的表达式的取值范围.
利用基本不等式
利用代数基本不等式x+y≥2,x+y+z≥3﹙x,y,z>0﹚等来求函数的值域,也是一种行之有效的方法,但是在使用时要注意是否符合公式的基本要求以及能否取到等号的问题
函数的对应关系
自变量x与函数y的对应关系是指对于自变量x的一个确定的数值x0(定义域内),应以何种方式求出函数y的对应值y0 ,对应关系一般用f,g等字母表示.
=f(x)或其图像,隐式一般可用f所满足的一些条件的形式给出,例如函数方程的形式.
赛题解析
求下列函数的定义域:
y= ;
y=
解:(1)要使y有意义,则:
x(3-x)≥0, 0≤x≤3
(x-3)2>0,即: x≠3
(x-3)2≠1, x≠2且x≠4
故定义域为[0,2)∪(2,3).
(2)由题意知,函数的自变量x的取值范围是
ax-kbx>0 ,即()x>>0,b>0,a≠1,b≠
当a>b>0,k>0时, 定义域为{x|x>㏒k}
当b>a>0,k>0时, 定义域为{x|x<㏒k}
当0<a=b≠1,且0<k<1时, 定义域为R.
当k≤0时,定义域为R.
说明(1)求函数的定义域一般可转化为求不等式的解,对于参数,应予以讨论
函数的定义域一般应表示为集合形式或用区间表示
已知a∈(-,0],函数f(x)的定义域是(0,1],求
g(x)=f(x+a)+f(x-a)+f(x)的定义域.
【分析】g(x)=f(x+a)+f(x-a)+f(x)的定义域是f(x+a),f(x-a),f(x)的定义域的交集,解题时应注意参数a的取值范围,有时应对a进行分类讨论.
解:由题意得:0<x+a≤1, ﹣a<x≤1-a ①
0<x-a≤1, 即 a<x≤1+a ②
0<x≤1, 0<x≤1 ③
∵﹣<a≤0 ,
∴0≤﹣a< , 1≤1-a<, <1+a≤1.
∴不等式组的解为﹣a<x≤1+a.
∴g(x)的定义域为(﹣a,1+a].
【说明】本题中a∈(-,0]给得恰到好处,不然就得对a进行分类讨论了;若a的取值范围使得由①,②,③组成的不等式无解,这时我们千万不能称g(x)的定义域是空集,因函数的定义域和值域均不能为空集,而要说这时不存在函数g(x).
求下列函数的值域.
(1)y=x+
(2)y=
(3)y=㏒
(4)y=+
(5)y=|x+1|+|x-1|+|x+2|
(6)y=
(7)y=x²+(x>0)
解:(1)令t=(t≥0),则:
x=,y=1-
又t≥0,故y=1-≤1,即函数的值域为(-∞,1]
(2)因为y==,所以102x=(y≠1)
且反函数为y=lg
由>0知反函数的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),故原函数的值域为(-∞,-1)∪(1,+∞).
(3)因为2x-x²+3=-﹙x-1﹚²