概率论与数理统计笔记.doc

第一章随机事件与概率
随机事件的关系与运算:
事件的包含与相等
若A发生必然导致B发生,则称B包含A,记作BA, AB。有:øAΩ
若AB且BA,则称A与B相等,记作 A = B。
和事件(并)
称”A,B中至少有一个发生”为A与B的和事件,记作A∪B或A+B。有:(1) AA∪B, BA∪B (2) 若AB, 则A∪B = B
积事件(交)
称”A,B同时发生”为A与B的积事件,记作A∩B,简记为AB。有:
(1) ABA, ABB (2)若AB,则AB = A
差事件
称”A发生而B不发生”为A与B的差事件,记作A-B。有:(1) A-BA (2) 若AB,则A-B = ø
互不相容
若A与B不能同时发生,即AB= ø,则称A与B是互不相容的两个事件,简称A与B互不相容(或互斥)
对立事件
称”A不发生”为A的对立事件(或余事件,或逆事件),记作Ā。
若A与B中至少有一个发生,且A与B互不相容,即A∪B=Ω,AB= ø,则称A与B互为对立事件。有:
(1) = A. (2) = ø, =Ω. (3) A - B == A - AB
注意:若A与B为对立事件,则A与B互不相容。但反过来不一定成立
概率的定义与性质:
设Ω为随机试验E的样本空间,对于E的每个事件A赋予一个实数,记为P(A),称P(A)为事件A的概率,如果它满足下列条件:
P(A)≥0;
P(Ω) = 1;
设A1,.A2, … Am,…是一列互不相容的事件,则有
P(Ak) = P(Ak)
性质: (1) 0 ≤ P(A) ≤ 1, P (Φ) = 0
(2) P(A∪B) = P(A) + P(B)-P(AB)
特别地,当A与B互不相容时,P(A∪B) = P(A) + P(B)
推广:对于任意事件A, B, C有
P(A∪B∪C) =
P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC)
当A1,.A2, … An互不相容时,(其中n为正整数)
P(A1∪A2∪…∪An) = P(A1) +P(A2)+…+P(An)
(3) P(B-A) = P(B)-P(AB)
特别地,当AB时,P(B-A) = P(B)-P(A) ,且P(A) ≤P(B)
P()=1-P(A)
古典概型:
P(A) = = A中样本点数/ Ω中样本点总数
= A所包含的基本事件数/ 基本事件总数
条件概率:
设A, B是两个事件,且P(B)>0,称
P(A|B)=
为在事件B发生条件下事件A发生的条件概率。显然,当P(A)>0时,
P(B|A)=
概率的乘法公式:
当P(A)>0时,P(AB)= P(A)P(B|A)
当P(B)>0时,P(AB)= P(B)P(A|B)
乘法公式还可以推广到n个事件的情况:
(1) 设P(AB)>0,则
P(ABC) = P(A) P(B|A) P(C|AB)
(2) 设P(A1A2…An-1)>0,则
P(A1A2…An) = P(A1)P(A2|A1)…P(An|A1A2…An-1)
全概率公式:
设随机试验对应的样本空间为Ω,设A1, A2, …, An是样本空间Ω的一个划分,B是任意一个事件,则P(B) = P(Ai)P(B|Ai)
当0 < P(A) < 1时,A与就是Ω的一个划分,又设B为任一事件,则全概率公式的最简单形式为 P(B)=P(A) P(B|A)+ P() P(B|)
运算律:
交换律:A∪B = B∪A, A∩B = B∩A
结合律:A∪(B∪C) = (A∪B)∪C,
A∩(B∩C) = (A∩B)∩C
分配律:A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C),
A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)
对偶律: =, = ∪
贝叶斯公式:
设A1, A2, …, An是样本空间Ω的一个划分,B是任意一个事件,且p(B)>0,则
P(Ai|B)=
=, i=1, 2, …, n.
n重贝努利(Bernoulli)试验:
Pn(k) =pk(1-p)n-k, k=0, 1, 2, …, n.
(q=1-p)
事件的独立性:
定义:若P(AB)=P(A)P(B),则称A与B相互独立,简称A, B独立。
性质:
(1) 设P(A) >0,则A与B相互独立的充分必要条件是P(B)= P(B|A). 设P(B) >0,则A与B相互独立的充分必要条件是P(A)= P(A|B).
(2) 若A与B相互独立,则A与,与B,与都相互独立
定义:设A, B, C为3个事件,若满足
P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C)