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《概率论与数理统计》笔记
一、课程导读
“概率论与数理统计”是研究随机现象的规律性的一门学科
在自然界,在人们的实践活动中,所遇到的现象一般可以分为两类:
确定性现象            随机现象
Ø        确定性现象
   在一定的条件下,,向上抛一枚硬币,由于受到地心引力的作用,(或必然现象).同样,任何物体没有受到外力作用时,必定保持其原有的静止或等速运动状态;导线通电后,必定会发热;等等也都是确定性现象.
Ø        随机现象
   在一定的条件下,可能会出现各种不同的结果,也就是说,在完全相同的条件下,进行一系列观测或实验,,抛掷一枚硬币,当硬币落在地面上时,可能是正面(有国徽的一面)朝上,也可能是反面朝上,(或偶然现象).同样,自动机床加工制造一个零件,可能是合格品,也可能是不合格品;射击运
动员一次射击,可能击中10环,也可能击中9环8环……甚至脱靶;等等也都是随机现象.
Ø        统计规律性
对随机现象,从表面上看,由于人们事先不能知道会出现哪一种结果,似乎是不可捉摸的;,在相同的条件下,对随机现象进行大量的重复试验(观测),,多次重复抛一枚硬币,正面
朝上和反面朝上的次数几乎相等;对某个靶进行多次射击,虽然各次弹着点不完全相同,但这些点却按一定的规律分布;.
l       应用例子
Ø       摸球游戏中谁是真正的赢家
在街头巷尾常见一类“摸球游戏”.游戏是这样的:一袋中装有16个大小、形状相同,、,“奖励”或“处罚”:
 
结果(比数)
A (8:0)
B (7:1)
C (6:2)
D (5:3)
E (4:4)
奖金(元)
10
1


-2
注:表中“-2”表示受罚2元
解: 此游戏(实为赌博),从表面上看非常有吸引力,,何以如此呢?::
假设进行了1000次摸球试验, 5种情况平均出现的次数分别为:0、10、122、487、381次,经营游戏者预期可得
2×381-(10×0+1×10+×122+×487) =(元).
这个例子的结论可能会使我们大吃一惊,、更生动的知识.
Ø       戏院设座问题
乙两戏院在竞争500名观众,假设每个观众完全随意地选择一个戏院,且观众之间选择戏院是彼此独立的,问每个戏院至少应该设多少个座位才能保证观众因缺少座位而离开的概率小于5%?
 
解由于两个戏院的情况相同,故只需考虑甲戏院即可。设甲戏院需设m个座位,定义
 ,i=1,2,…,500
 依题意,
若用x表示选择甲戏院的观众总数,则,问题化为求m使
因为E(xi)=D(xi)= ,由中心极限定理近似地
故,
查标准正态分布表知,
从而解得,即每个戏院至少应该设多少269个座位。
各章的重点难点
第一章事件与概率
l           古典概率
l           全概率公式与贝叶斯公式(*)
l           独立试验序列
第二章离散型随机变量
l           离散随机变量的概率分布
l           分布函数
l           常用分布:超几何分布H(n,M,N)、二项分布B(n,p)、泊松分布P(λ)
l           随机变量的数学期望与方差的概念及性质
第三章连续型随机变量
l           连续随机变量的概率密度、均匀分布U[a,b]、指数分布e(λ)、正态分布N(μ,σ2)
l           分布函数
l           二维随机变量的分布(联合分布)
l           边际分布
l           随机变量函数的数学期望
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