5.2 矩阵的相似对角化.ppt

§ 矩阵的相似对角化
一、相似矩阵的基本概念与性质
二、矩阵相似对角化的概念与问题分析
三、矩阵相似对角化的方法步骤
四、矩阵相似对角化的应用
一、相似矩阵的基本概念与性质
1. 相似矩阵的概念
定义
对于 n 阶矩阵 A 和 B ,
则称 A 与 B 相似,
称对 A 所进行的运算为对 A 进行相似变换。
称可逆矩阵 P 为把 A 变成 B 的相似变换矩阵。
记为
若存在可逆的 n 阶方阵 P 使得
或者称 A 相似于 B,
注
矩阵相似是矩阵等价的一种特殊情况。
一、相似矩阵的基本概念与性质
1. 相似矩阵的概念
2. 相似矩阵的性质
(1) 反身性
性质
(2) 对称性
若则
(3) 传递性
若则
(4)
若则
(5)
若则
定理
若 n 阶矩阵 A 与 B 相似,则 A 与 B 有相同的特征多项式,
证明
因 A 与 B 相似,即存在可逆的矩阵 P 使得
即 A 与 B 有相同的特征多项式。
从而 A 与 B 有相同的特征值。
故
一、相似矩阵的基本概念与性质
1. 相似矩阵的概念
2. 相似矩阵的性质
二、矩阵相似对角化的概念与问题分析
定义
对于 n 阶矩阵 A,
则称 A 可相似对角化;
若存在可逆的 n 阶方阵 P, 使得
记为
若存在可逆矩阵 P 使
则
则
特别地,
若
二、矩阵相似对角化的概念与问题分析
好处
(之一)
例
证明矩阵不能相似对角化。
证
(反证法)
假设存在可逆矩阵 P ,使得
即得
故它们有相同的特征值,
由矩阵 A 与 L 相似,
矛盾!
故矩阵 A 不能相似对角化。
1. 问题分析
(1) L 如何构成?
L 的主对角线上的元素由 A 的全部特征值构成。
由于是 L 的 n 个特征值,
而 A 与 L 相似,
因此就是 A 的 n 个特征值.
记为
所考虑的问题是寻找可逆的 n 阶方阵 P ,使得
即
二、矩阵相似对角化的概念与问题分析
1. 问题分析
(2) P 如何构成?
P 的列向量由 A 的线性无关的特征向量构成。
设
即
则由有
于是有
又因为 P 可逆,
且线性无关,
故
因此是 A 的 n 个线性无关的特征向量.
即
二、矩阵相似对角化的概念与问题分析
A 有 n 个线性无关的特征向量,
推论
如果 n 阶矩阵 A 有 n 个不同的特征值,则矩阵 A 可以
相似对角化。
定理
n 阶矩阵 A 能够相似于对角矩阵的充分必要条件是
1. 问题分析
2. 矩阵可相似对角化的条件
即 A 每个特征值所对
应的线性无关的特征向量的个数必须恰好等于该特征
值的重数。
二、矩阵相似对角化的概念与问题分析