A
平面的法向量:如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面,则称这个向量垂直于平面,记作⊥,如果⊥,那么向量叫做平面的法向量.
给定一点A和一个向量,那么过点A,以向量为法向量的平面是完全确定的.
l
平面的法向量:
注意:
;
;
l
求法向量的步骤:
5
例1、在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.
解:以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz(如图),
则O(1,1,0),A1(0,0,2),D1(0,2,2),
设平面OA1D1的法向量的法向量为n=(x,y,z),
由=(-1,-1,2), =(-1,1,2)得
解得
取z =1得平面OA1D1的法向量的坐标n=(2,0,1)
A
A
B
O
z
y
A1
C1
B1
A
x
C
D
D1
二面角的平面角
二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为端点,
在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,
这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
O
复习:
二面角的范围:
l
l
法向量法
求二面角的大小可转化为求两个平面法向量的夹角.
二面角的大小与法向量n1 、n2夹角相等或互补。
四、教学过程的设计与实施
总结出利用法向量求二面角大小的一般步骤:
1)建立坐标系,写出点与向量的坐标;
2)求出平面的法向量,进行向量运算求出法向量的夹角;
3)通过图形特征或已知要求,确定二面角是锐角或钝角,得出问题的结果.
例2:如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N分别是A1B1,BC,C1D1,B1C1的中点,求二面角M-EF-N的大小
A
D1
C1
B1
A1
N
M
F
E
D
C
B
(2)
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