法向量求二面角.ppt

2立体几何中的向量方波平面的法向量:如果表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面a,则称这个向量垂直于平面a,记作n⊥a,如果n⊥a,那么向量n叫做平面a的法向量给定一点A和一个向量n,那么过点A,以向量n为法向量的平面是完全确定的平面的法向量注意1法向量一定是非零向量;;求法向量的步骤:(1)设出平面的法向量为n=(x,y,z)(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a=(a1,b,C1)b=(a2b2,C2)(3)根据法向量的定义建立关于x,y,x的方程组na=0n●b=0(4)解方程组,取其中的个解,即得法向量。例1:在空间直角坐标系中,已知A(3,0,0),B(0,4,0),C(0,0,2),试求平面ABc的一个法向量解:设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,z)则n⊥AB,n⊥=(-3,4,0),AC=(-3,0,2)(x,y,z)(-3,40)=0n「-3x+4y=0即4y-2z=0(x,y,z)(-3,0,2)=0(-3x+2x=0令y=1,=(,1,2)是平面ABC的一个法向量例1、在棱长为2的正方体ABCD-AB,CD1中O是面Ac的中心,求面OAD的法向量解:以A为原点建立空间直角坐标系Oxyz(如图),则o(1,1,0),A1(0,0,2),D1(0,2,2),设平面OA1D1的法向量的法向量为n=(x,y2,由OA=(-1,-1,2),OD,=(-1,1,2)得y+2x=0x=2zD1解得A儿2x+y+2x=00B1C取z=1得平面oAD1的法向量的坐标n=(2,0,1)复面角以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角二面角的范围:∈[O,x法向量法0=x-(1,ncos0=cos<n,n,>COS6=-cos<n,n2>求二面角的大小可转化为求两个平面法向量的夹角二面角的大小与法向量n1、n2夹角相等或互补。总结出利用法向量求二面角大小的一般步骤1)建立坐标系,写出点与向量的坐标;2)求出平面的法向量,进行向量运算求出法向量的夹角;3)通过图形特征或已知要求,确定二面角是锐角或钝角,:如图,正方体ABCD-A1BC1D1中,B,F,M,N分别是AB1,BC,C1D1,B1C1的中点,求二面角MEF-N的大小■■■口