第1章矢量分析
一、矢量和标量的定义
二、矢量的运算法则
三、矢量微分元:线元,面元,体元
四、标量场的梯度
六、矢量场的环量和旋度
五、矢量场的通量和散度
七、亥姆霍茨定理
八、重要的场论公式
一、矢量和标量的定义
:只有大小,没有方向的物理量。
矢量表示为:
所以:一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。
其中: 为矢量的模,表示该矢量的大小。
为单位矢量,表示矢量的方向,其大小为1。
:不仅有大小,而且有方向的物理量。
如:力速度、电场等
如:温度 T、长度 L 、高度、电位等
标量表示为:
例1:在直角坐标系中, x 方向大小为 6 的矢量如何表示?
图示法:
力的图示法:
二、矢量的运算法则
: 矢量加法是矢量的几何和,服从平行四边形规则。
:
:
三个方向的单位矢量用表示。
根据矢量加法运算:
所以:
在直角坐标系下的矢量表示:
其中:
矢量:
模的计算:
单位矢量:
方向角与方向余弦:
在直角坐标系中三个矢量加法运算:
:换成加法运算
逆矢量: 和的模相等,方向相反,互为逆矢量。
在直角坐标系中两矢量的减法运算:
推论:
任意多个矢量首尾相连组成闭合多边形,其矢量和必为零。
:
(1)标量与矢量的乘积:
方向不变,大小为|k|倍
方向相反,大小为|k|倍
(2)矢量与矢量乘积分两种定义
a. 标量积(点积):
两矢量的点积含义:
一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积,
其结果是一标量。
在直角坐标系中,已知三个坐标轴是相互正交的,即
有两矢量点积:
结论: 两矢量点积等于对应分量的乘积之和。
推论1:满足交换律
推论2:满足分配律
推论3:当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。
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