[理学]高等数学口诀解题技巧.doc

[理学]高等数学口诀解题技巧.doc高数口诀
一、有关四种性质(奇偶性、单调性、周期性、有界性)
1.
口诀(1):奇偶函数常遇到;对称性质不可忘。
2. 在(a,b)内,若,则单调增加
若,则单调减少
口诀(2):单调增加与减少;先算导数正与负
例1 求
解是奇函数,∵是奇函数,
∵
因此是奇函数。
于是。
例2 设,则下列结论正确的是
(A)若为奇函数,则为偶函数。
(B)若为偶函数,则为奇函数。
(C)若为周期函数,则为周期函数。
(D)若为单调函数,则为单调函数。
解(B)不成立,反例
(C)不成立,反例
(D)不成立,反例
(A)成立。
证明为奇函数,
所以,为偶函数。
例3 设,是恒大于零的可导函数,且,则当时,下列结论成立的是
(A) (B)
(C) (D)
解∵,∴单调减少
于是x<b,则有,故(A)成立。
二、有关复合函数
1. 已知,求
2. 已知和,求
例1、已知和
求
解:
例2、已知,且,求
解:令,则,因此
于是,
§ 极限
一、有关无穷小量
(量)仍是无穷小(量);
;
。
例1 求
解原式
例2 设当x→0时(1-cosx)ln(1+x2)是比xsinxn高阶的无穷小,而xsinxn是比高阶的无穷小,则正整数n等于
(A) 1 (B) 2
(C) 3 (D) 4
解:
由题意可知,4>n+1>2,
∴n+1=3, n=2 选(B)
例3 设,则当x→0时, 是的( )
(A) 高阶无穷小(B) 低阶无穷小
(C)同阶但不等价的无穷小(D) 等价无穷小
解
选(C)
二、有关两个准则
准则1 单调有界数列极限一定存在。
准则2 夹逼定理。
例1 设,证明存在,并求其值。
解∵
我, (几何平均值≤算术平均值)
用数学归纳法可知n>1时,,∴有界。
又当n>1时, ,
,
,则单调增加。
根据准则1,存在
把两边取极限,得(舍去) 得,
∴。
口诀(3):递推数列求极限;单调有界要先证;
两边极限一起上;方程之中把值找。
例2 求。
解令,
则0<xn<yn,于是,
由夹逼定理可知,于是原极限为0。
三、有关两个重要公式
公式1、
公式2、
例1 求。
解当x=0时,原式=1
当x≠0时,原式
=
=
例2 设在内可导,且,,求c的值。
解:
则拉格朗日中值定理,有

其中ξ介于(x-1)与x之间,那么

于是,e2c=e,2c=1,则
口诀(4):函数之差化导数;拉氏定理显神通。
四、用洛必达法则求极限
洛必达法则主要处理七种待定型极限:“”型,“”型,“0·∞”型,“∞-∞”型,
“1∞”型,“00”型和“∞0”型
口诀(5):待定极限七类型,分层处理洛必达。
第一层次:直接用洛必达法则
“”型用洛必达法则Ⅰ
“”型用洛必达法则Ⅱ
第二层次:间接用洛必达法则
“0·∞”型例变为“”型
“∞-∞”型例变为“”型
第三层次:间接再间接用洛必达法则
“1∞”型,“00”型,“∞0”型均为形式
而称为冪指函数,比较复杂。
口诀(6):冪指函数最复杂;指数、对数一起上。
,
而上面三种类型化为,
这时一定是“0·∞”型
再用第二层次的方法处理即可
例
=
例1 求。
解原式=
=
=
=
=
=
=
例2 设函数连续,且,求
解原式=(分母令)
= (用积分中值定理)
=(ξ在0和x之间)
=.
口诀(7):变限积分是函数;遇到之后先求导。
公式: (当连续时)
例3 高a>0,b>0常数,求
解先考虑它是“”型。
令
令型
=
因此,
于是, 。
口诀(8) 离散数列“洛必达”;先要转化连续型。
五、求分段函数的极限
例求。
解
∴
口诀(9):分段函数分段点;左右运算要先行。
六用导数定义求极限
例设曲线与在原点相切,求