柯西—许瓦兹不等式-Holder-不等式应用例题.doc

设为阶正定矩阵,则成立。
证明因为为阶正定矩阵,所以存在可逆矩阵使得,,
,显然是阶正定矩阵,它的特征值全为正的,
由矩阵的特征值和迹在相似变换下保持不变,于是
。
设为阶半正定矩阵,则成立。
证明对任意,有为阶正定矩阵,
令,由连续性,可知, 。
定理(Cauchy-Schwarz不等式)
设在上可积,则有。
证明证法一对区间的任意分割:,
任取,,,记,;
由于成立,
在上式中,令取极限,则得到
;
证法二考虑二次函数
,;
如果,在上式中取,
得到,
从而,
于是成立;
如果,则对,成立,
必有,此时自然成立,。
(几乎以前所有的人,都忽略了这种情况。)
故结论得证。

柯西—许瓦兹不等式,Holder 不等式的应用例题
定理11(Newman不等式) 设正整数,实数,且,则有
.
证明由于,所以.
定理5 设且,则有。
证明方法一由,
得.
方法二利用Holder不等式,得
由几何平均算术平均不等式,得,
于是,
方法三考虑函数,
在,下的条件极值。
1.(Klamkin)不等式
定理1 .
证明. 考虑函数,
在下的条件极值,即可获证。
定理2 设且则成立.
证明证法一利用条件及三元几何平均算术平均不等式,得
,结果得证。
证法二
.
定理3 设且,则成立.
证明
,结果成立。
Bernoulli不等式的应用
定理1 (贝努利不等式) 设,实数都大于,并且它们都有着相同的符号,则成立;
特别地,当,且,成立
,(,) 。
P155 72 (Weierstrass不等式)
定理2(Weierstrass不等式)设()都是正实数,且,则成立
(1);(2) 。
推论2 设,.
证明利用Bernoulli不等式,得
P152 68 设是不全相等的正数,记则当时,有
证明利用几何平均算术平均不等式,得,
于是
推论当时,有。
证明。
P152 69 (1)设均为正数,且则。
证明利用Young不等式,得
由此,结果得证。
直接利用Hölder不等式
定理12 设正整数,有理数,且,
对任意实数,成立
.
P155 73 设则
(1)不等式);
(2) 。
证明(1)方法一利用在上的凸性,得到
,再令,即可得证。
方法二直接利用Hölder不等式的推论,得到
,即结果得证;
(2)直接利用几何算术平均不等式,即可得到证明.
Cauchy不等式的应用
。
;
.
,其中
设,则有
证明
,
,
于是结果得证。
127 设则
证明利用Cauchy-Schwarz不等式得
又,,
于是
从而,结果得证。
。
证明由Cauchy—Schwarz不等式
,于是
P182 145 (Shapiro不等式)
设令,则仅当所有相等时等号成立。
证法一利用Cauchy—Schwarz不等式,得
从而
。
证法二
再由,,
于是,从而
故得.
P185 150
证明由
得,
利用Cauchy—Schwarz不等式,得
,
,
再由,,
,
故得。
P 175 126
证明利用三角不等式,得
P175 127 设均为正数,表示集合的全部置换的集合,则。
证明利用Minkowski不等式和Jensen不等式,得
,任意。于是,结论得证。
P178. Peetre不等式:设,
则成立
证明由得
同理
当时,
当时,
当时,结论显然成立,故结果得证.
抛物距离
设,,
定义,则是定义在上的一个距离。
事实上对任意,
。
定理12 设正整数,有理数,且,
对任意实数,成立
.
P11 乘积型Minkowski不等式:
设,则。