柯西-许瓦兹不等式的推广与应用.doc

中图分类号:
本科生毕业论文
(申请学士学位)
论文题目柯西-许瓦兹不等式的推广与应用
作者姓名
所学专业名称数学与应用数学
指导教师
2010年 4月30日
学号:
论文答辩日期: 2010 年 6月 5日
指导教师: (签字)
滁州学院本科毕业设计(论文)原创性声明
本人郑重声明:所呈交的设计(论文)是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外,本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。
作者签名: 2010年5月30日
柯西-许瓦兹不等式的推广与应用
摘要:柯西-许瓦兹不等式在许多领域都有广泛应用,如线性代数的矢量运动、数学分析的无穷级数、函数乘积的积分、概率论的方差和协方差等方面。柯西-许瓦兹不等式在不同的空间有着不同的形式,同时也有着许多的变形及推广。本文总结了柯西-许瓦兹不等式在实数域、微积分、欧氏空间以及概率空间中的形式及其证明,并给出了它的一些推广和应用。
关键词:柯西-许瓦兹不等式;实数域; 欧氏空间;概率空间
The Generalization and Distortion of Cauchy-Schwarz Inequality
Abstract: Cauchy-Schwarz inequality has wild applications in many areas such as motion vector in linear algebra, the infinite series in mathematical analysis, the integral product of function, variance and covariance in probability theory etc. It is used in the different spaces with different forms, and has a lot of distortions and generalization.  This paper summarizes the form and its proof of Cauchy-Schwarz inequality in the real fields, calculus, Euclidean space, probability space, and gives its generalization and application.
Key words: Cauchy-Schwarz inequality; Real number field ; Euclidean space; Probability space

1、柯西-许瓦兹不等式在实数域中的推广与应用
-许瓦兹不等式在实数域中的定义
定义:设,则有
()
其中当且仅当(为常数)等号成立。
柯西-许瓦兹不等式在实数域中有着广泛的应用,现在我们通过它的三种证明方法,来加深对其的理解。
证法一:我们利用一元二次函数的知识来证明
证明:设,则
由于,因此上述不等式的判别式,则
即
证法二:利用一元二次不等式的知识来证明
证明:平方和绝不可能是负数,故对每一个实数都有
其中,等号当且仅当每一项都等于0时成立,该不等式可以变形为
,其中,
如果,不等式显然成立
如果,因为恒成立,所以成立
即等号当且仅当(为常数)成立。
证法三:利用向量的知识来证明
证明:设是两个维向量,则
由于
因此,即当时等号成立,
即或时,也即与共线时等号成立.
-许瓦兹不等式在实数域中的推广
-许瓦兹不等式在实数域中的基本变形与推广
在()中,令,则

()
()
令则
()
() ()
() ()推论2 .将柯西-许瓦兹不等式中的幂指数扩充,则有赫尔德不等式.
赫尔德不等式:对任意的非负数有
其中满足且()
证明:利用不等式其中为非负数且得
赫尔德不等式中,当时为柯西-许瓦兹不等式。

设数项级数与收敛,则也收敛,且
()
,则有
证明:令其中
由平均值不等式得

对之作和得
所以有:
-许瓦兹不等式在实数域中的应用
例1-,求证:
证明:不等式左边等于



所以得证.
例1-,又(常数),求证:
.
证明:根据柯西-许瓦兹不等式()式可得