子空间的基本内容.doc

线性子空间的研究
数学与应用数学专业学生:罗柏平
指导老师:周绍杰
摘要: 线性子空间理论是线性代数的核心内容之一,、和、直和的定义,并阐述了线性子空间、子空间直和的几个等价性定义,并做了一定的的推广;在此基础上,,得到了一些有用的结果.
关键词:线性空间,线性子空间,子空间的交,维数
Abstract: Linear space and subspaces are one of linear algebra,and they have been applied to mathematics or other fields paper discussed the linear subspace and pay, and and, and subspace we discussed the linear subspace, subspace straight and few equivalence definition,and did some promotion; Based upon these, draw subspace of mixed operation is for and included relation and its two subspaces, and further discussion was gived and several important conclusions were given.
Keyword: linear space; linear subspace ; intersection of subspaces; dimensions
0引言
线性子空间理论是高等代数中的重要内容,线性子空间是线性空间的子集,.
线性子空间包括线性子空间的定义,子空间的交与和,直和等等. 它把具体、,,在数学、物理、通信、化学、,子空间的理论不仅是高等代数的核心,而且广泛渗透到各自然科学、工程技术、,先讨论有关线性子空间的一些基本问题,对线性空间有关的概念和部分结论作一回顾,然后再在应用中对线性子空间做更多的
探讨.
1子空间的基本内容

定义1(子空间) 数域P上线性空间V的一个非空子集合W称为V的一个线性子空间或简称子空间,如果W对于V的两种运算加法和数乘也构成线性空间.
定义2(生成子空间) 设,则子空间
即这组向量所有的线性组合构成的子空间,称为由生成的子空间,记作. 称为它的一组生成元.
定义3(和与交、直和)
i设、是线性空间V的两个子空间,满足的称为与的和,记作+;满足的称为与的交,记作.
ii若是线性空间的两个子空间,如果中每一个向量的分解式是唯一的,.
,如果和中每个向量的分解式, 是唯一的,则该和称为直和,记为

命题1 (子空间的判别) 线性空间的一个非空子集是的子空间的充分必要条件是,对于中规定的加法和数乘运算封闭.
命题2(维数公式)如果是有限维线性空间的两个子空间,那么
dim()+dim()=dim()+dim().
命题3(直和的等价条件) 若是线性空间的子空间,则以下条件等价.
(1)是直和;
(2)零向量的表示法唯一;
(3);
(4)dim()= .
命题4 设V是P上的有限维线性空间,.则向量组的极大线性无关组就是生成子空间的基,且秩()=dim(L).向量组与等价的充要条件是=.
2子空间的几个性质
性质1 设是n维线性空间V的一组基,A是一个n×s矩阵,且,则的维数等于A的秩.
证明:要证明的维数等于A的秩,只需证的极大线性无关组所含向量的个数等于A的秩.
设
,
,可设A的前r列是极大线性无关组,由条件得
,
可证构成,的一个极大线性方程组.
事实上,设,于是得
,
因为线性无关,所以
,
该方程组的系数矩阵秩为故方程组只有零解即,
于是线性无关.
其次可证