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抢渡长江的数学模型
摘要:
本文给出了在一定的条件下,游泳者应该怎样选择游泳方向和线路,才能以最快的速度、最短的时间达到目的地,并就问题1——4通过数学模型和物理模型,借助计算机C语言编写程序,用计算机去搜索、模拟给出了具体的最佳方向、线路、速度大小等。在问题1中得出:①她的速度为v=,°;②°,成绩为910。544s。在问题2中,我们得出:①垂直岸边的方向游泳不可能到达终点;②离对岸终点的横向距离越大,对游泳速度的要求越低。在问题3中:用了两种不同的模型得出了几乎相同的结果,即当游泳者在第一、二、三段中,方向分别与岸边的夹角大致为126°、118°、126°时,将以最小的时间大致为904s到达终点,且游泳者线路为一对称折线。在问题4中,用了问题3中的一种方法,得到了,当游泳者在第一、二、三段中方向与岸边夹角分别为126°、118°、126°时,游泳时间最短,且大致为892s。由3、4两个问题的求解,可看出:当游泳者游泳速度不变,水流速度关于江河中心线对称时,游泳池者的最佳角度和线路也是关于江河中心线与起始点连线的交点对称的。
关键词:数学模型;最短时间;最佳角度;水流速度;最佳路线;模型优化
问题的提出
D题抢渡长江
“渡江”是武汉城市的一张名片。1934年9月9日,武汉警备旅官兵与体育界人士联手,在武汉第一次举办横渡长江游泳竞赛活动,起点为武昌汉阳门码头,终点设在汉口三北码头,全程约5000米。有44人参加横渡,40人达到终点,张学良将军特意向冠军获得者赠送了一块银盾,上书“力挽狂澜”。
2001年,“武汉抢渡长江挑战赛”重现江城。2002年,正式命为“武汉国际抢渡长江挑战赛”,于每年的5月1日进行。由于水情、水性的不可预测性,这种竞赛更富有挑战性和观赏性。
1160m
1000m
长江水流方向
终点: 汉阳南岸咀
起点: 武昌汉阳门
2002年5月1日,抢渡的起点设在武昌汉阳门码头,终点设在汉阳南岸咀,江面宽约1160米。据报载,℃, 。参赛的国内外选手共186人(其中专业人员将近一半),仅34人到达终点,第一名的成绩为14分8秒。除了气象条件外,大部分选手由于路线选择错误,被滚滚的江水冲到下游,而未能准确到达终点。
假设在竞渡区域两岸为平行直线, 它们之间的垂直距离为 1160 米, 从武昌汉阳门的正对岸到汉阳南岸咀的距离为 1000米,见示意图。
请你们通过数学建模来分析上述情况, 并回答以下问题:
1. 假定在竞渡过程中游泳者的速度大小和方向不变,且竞渡区域每点的流速均为 米/秒。试说明2002年第一名是沿着怎样的路线前进的,求她游泳速度的大小和方向。如何根据游泳者自己的速度选择游泳方向,,并估计他的成绩。
在(1)的假设下,如果游泳者始终以和岸边垂直的方向游, 他(她)们能否到达终点?根据你们的数学模型说明为什么 1934年和2002年能游到终点的人数的百分比有如此大的差别;给出能够成功到达终点的选手的条件。
若流速沿离岸边距离的分布为(设从武昌汉阳门垂直向上为 y轴正向) :

游泳者的速度大小()仍全程保持不变,试为他选择游泳方向和路线,估计他的成绩。
若流速沿离岸边距离为连续分布, 例如
或你们认为合适的连续分布,如何处理这个问题。
用普通人能懂的语言,给有意参加竞渡的游泳爱好者写一份竞渡策略的短文。
你们的模型还可能有什么其他的应用?
二、问题得分析
模型的建立主要是解决如下两个问题,才能使竞赛者以最优成绩到达终点:
1、要到达终点必须具备一定的条件:合理的角度
具体解法见下文模型的求解;
2、要以最优的成绩到达终点,不仅要求有合理的角度,还要考虑自身的游泳速度与水的流速相结合,水流大小的随时改变,将直接影响游泳者的游泳前进速度大小和方向,及至最终成绩。
这些因素的具体影响过程,在假设的前提下,我们采用计算机编程的方法来实现,采取物理中运动的力学原理进行分析,与几何数学的思想方法相结合,同时用穷举的方法来搜索最优结果。
三、模型的假设
游泳者身体均健康,能游泳;
游泳者在游泳中体力的消耗不会影响游泳者的成绩;
游泳者在游泳中的方向是不变的;
气候对比赛不会影响;
水质、水温、水流、水浪对比赛不受影响;
风速对游泳者的成绩无影响;
比赛照常进行;
比赛中不发生意外事情导致比赛终止;
一位队员不受其他队员的影响,彼此相互独立;
10、裁判员公平裁判;
11、比赛者不受江面情况的影响,比如船只等;
12、运动员参加比赛符