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§5 向量和矩阵的范数
在线性代数方程组的数值解法中,经常需要分析解向量的误差,需要比较误差向量的“大小”或“长度”。那么怎样定义向量的长度呢?我们在初等教学里知道,定义向量的长度,实际上就是对每一个向量按一定的法则规定一个非负实数与之对应,这一思想推广到维线性空间里,就是向量的范数或模。

范数的最简单的例子,是绝对值函数。

并且有三个熟知的性质:
(1)x ¹ 0 Þ | x | >0 | x | = 0当且仅当x = 0
(2)|ax| = | a | × | x | a为常数
(3)| x+ y |≤| x | + | y |
范数的另一个简单例子是二维欧氏空间的长度
(勾股定理)
欧氏范数也满足三个条件:
设x = (x1, x2)
(1)x ¹ 0 Þ || x || >0
(2)|| ax || = | a | × || x ||2 a为常数
(3)|| x+ y ||2≤|| x ||2 + || y ||2
前两个条件显然,第三个条件在几何上解释为三角形一边的长度不大于其它两边长度之和。因此,称之三角不等式。
下面我们给出维空间中向量范数的概念:
设X = (x1, x2, …, xn)T,记为X Î R n
定义1:设X Î R n,||X|| 表示定义在Rn上的一个实值函数,称之为X的范数,它具有下列性质:
1)非负性:即对一切X Î R n,X ¹ 0, ||X|| >0
2)齐次性:即为任何实数a Î R,X Î R n,

3)三角不等式:即对任意两个向量X、YÎ R n,恒有
从以上规定范数的三种基本性质、立即可以推出Rn中向量的范数必具有下列性质:
4)|| 0 || = 0
5)
6)对任意的X、Y Î R n,恒有:

【证明】:根据范数的三角不等式

所以
同理可证
因此必有: 证完
三个常用的范数:
设X = (x1, x2,…, xn)T,则有
(Ⅰ);
(Ⅱ)
(Ⅲ)
不难验证,上述三种范数都满足定义的条件。
定理5:定义在Rn上的向量范数是变量X分量的一致连续函数。()
【证明】:设HÎRn为任意向量,e1, e2,…, en为Rn中的一个基底,且
再假设

显然N为定常数,则当时,由三角不等式得

任给正数e >0,取,则有:
证毕
定理6:在Rn上定义的任一向量范数都与范数等价,即存在正数M与m(M>m)对一切XÎRn,不等式

成立。
【证明】:设xÎRn,则的连续函数在有界闭区域(单位球面)上有界,且一定能达到最大值及最小值。设其最大值为
M,最小值为m,则有
()
考虑到在G上大于零,故m >0
设XÎRn为任意非零向量,则

代入()得

所以证完
由此定理可得
推论:Rn上定义的任何两个范数都是等价的。对常用范数,容易验证下列不等式:



有了范数的概念,我们就可以讨论向量序列的收敛性问题。
定义2:设给定Rn中的向量序列{},即
,
其中

若对任何i (i = 1, 2,…, n)都有

则向量

称为向量序列{}的极限,或者说向量序列{}依坐标收敛于向量X*,记为

定理7:向量序列{Xk}依坐标收敛于的充分条件是

如果一个向量序列{}与向量,满足上式,就说向量序列{}依范数收敛于,于是便得:
向量序列依范数收敛与依坐标收敛是等价的。

定义3:设A为n阶方阵,Rn中已定义了向量范数,则称为矩阵A的范数或模,记为。

矩阵范数有下列基本性质:
(1)当A = 0时,=0,当A ¹ 0时,> 0 (正定条件)
(2)对任意实数和任意A,有
(齐次条件)
(3)对任意两个n阶矩阵A、B有
(三角不等式)
(4)对任意向量XÎRn,和任意矩阵A,有

(5)对任意两个n阶矩阵A、B,有

前三个性质可对照向量范数,下面来证明(4):设,当XÎRn时,根据定义3,(4)显然成立,当ÎRn时,若X = 0,则(4)成为式,若X ¹ 0时,则,故
所以
从而便得(4)中的不等式。
对于(5),由定义3及(4)知:

特别地,满足(4)的矩阵范数与向量范数,称为相容的,或协调的,(4)称为相容性条件。
使用矩阵范数与向量范数时,必须满足相容性条件。
与常用向量范数相容的矩阵范数如下:
定理8:设n阶方阵A = (aij)n´n,则
(Ⅰ)与相容的矩阵范数是
(A的列范数)
(Ⅱ