函数的单调性.docx

单调性 
函数的单调性(monotonicity)也叫函数的增减性。当函数 f(x) 的自变量在其定义区间内增大(或减小)时,函数值f(x)也随着增大(或减小),则称该函数为在该区间上具有单调性。
定义
函数的单调性(monotonicity)也叫函数的增减性,可以定性描述在一个指定区间内,函数值变化与自变量变化的关系。当函数f(x) 的自变量在其定义区间内增大(或减小)时,函数值也随着增大(或减小),则称该函数为在该区间上具有单调性(单调增加或单调减少)。在集合论中,在有序集合之间的函数,如果它们保持给定的次序,是具有单调性的。
如果说明一个函数在某个区间D上具有单调性,则我们将D称作函数的一个单调区间,则可判断出:
注意:函数单调性是针对某一个区间而言的,是一个局部性质。因此,说单调性时最好指明区间。
有些函数在整个定义域内是单调的;有些函数在定义域内的部分区间上是增函数,在部分区间上是减函数;有些函数是非单调函数,如常数函数。
函数的单调性是函数在一个单调区间上的"整体"性质,具有任意性,不能用特殊值代替。
在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域,解决问题的过程中只能在定义域内,通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间。
如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个,那么这些单调区间不能用"∪"连接,而只能用"逗号"隔开。
单调函数
一般地,设一连续函数 f(x) 的定义域为D,且函数在定义域D内只具有一种单调性,则增函数和减函数统称单调函数。
性质
折叠图象性质
函数图象
函数单调性的几何特征:在单调区间上,增函数的图象是上升的,减函数的图象是下降的。
判断方法
折叠图象观察
如上所述,在单调区间上,增函数的图象是上升的,减函数的图象是下降的。因此,在某一区间内,一直上升的函数图象对应的函数在该区间单调递增;
一直下降的函数图象对应的函数在该区间单调递减;
两个分段函数
注意:对于分段函数,要特别注意。例如,上图左可以说是一个增函数;上图右就不能说是在定义域上的一个增函数(在定义域上不具有单调性)。
折叠定义证明
如果需要严格证明某区间上函数的单调性,则观察图