参数估计-区间估计.ppt

第五节区间估计
四、大样本置信区间
五、两个正态总体下的置信区间
一、置信区间的定义
二、置信区间的求法
三、单个正态总体参数的置信区间
一、区间估计的定义
满足
定义1: 设θ是一个待估参数,其参数空间为Θ。对给定的α(0<α<1)若由样本
x1, x2,…, xn 确定的两个统计量
则称区间是θ的置信水平(置信度)为1- α的置信区间.
分别称为(双侧)置信下限和置信上限.
注1:对参数θ作区间估计,就是要设法找出两个
只依赖于样本的界限(构造统计量)
一旦有了样本,就把θ估计在区间内.
注2: 要求θ以很大的可能被包含在区间
内,.
估计的精度要尽可能的高. 即要求区间长度
尽可能短.
可靠度与精度是一对矛盾,一般是在保证可靠度
的条件下尽可能提高精度.
注3: 置信水平1- α的频率解释:在大数次的区间估计的观测值中,至少有100(1- α)%次包含θ.
(参见P316页,)
上述定义在实际中常用的都是等式:
定义2: 沿用定义1的记号,若对给定的α(0<α<1),对任意的θΘ,有
则称是θ的1- α的同等置信区间.
有时在实际中常用的还有单侧置信区间:
定义3: 设是统计量, 若对给定的α(0< α<1) 对任意的θΘ,有
则称是θ的置信水平为1- α的(单侧)Θ成立,则称为θ的1- α的(单侧)同等置信下限.
定义4: 设是统计量,若对给定的α(0<α<1),对任意的θΘ,有
则称是θ的置信水平为1- α的(单侧)Θ成立,则称为θ的1- α的(单侧)同等置信上限.
在求同等置信区间时最常用的方法是枢轴量法. 步骤如下:
二、置信区间的求法----枢轴量法
1、设法构造一个样本和θ的函数G=G(x1,….xn ,θ), 使得G的分布为已知(即不依赖于未知参数). 称G为枢轴量.
2、适当地选择两个常数c、d, 使对给定的α(0< α<1), 有
3、将进行不等式变形化为,则有
最后的就是θ的1- α的同等置信区间.
~ N(0, 1)
选的点估计为,
求参数的置信度为的置信区间.
例如: 设x1,…,xn是取自的样本,
1、明确问题,是求哪个参数的
置信区间?置信水平是多少?
2、寻找未知
参数的一个良
好估计.
解:
3、寻找一个待估参数和
样本的函数,要求其
分布为已知.
三、单个正态总体的置信区间
4、对于给定的置信水平, 根据G的分布,确定一个区间, 使得G取值于该区间的概率为置信水平.
对给定的置信水平1- α,
查正态分布表得
使
5、变形可得
未知参数的置
信区间.
变形为
也可简记为
于是所求μ的置信度为1-α的置信区间为
这个区间比前面一个要长一些.
得到均值μ的置信水平为1-α=
比如,由
P(-≤G≤)=
由 P(-≤G≤)=
给定样本,给定置信水平,,我们可以构造许多置信区间.
上例中,
取置信水平为1- α=
~ N(0, 1)
由标准正态分布表, 满足P(c<G<d)=、d 有很多.
可得到均值μ的置信水平为1-α=
我们总是希望置信区间尽可能短.
类似地,可得到若干个不同的置信区间.
任意两个数c和d,只要它们的纵标包含p(x)下95%的面积,就确定一个95%的置信区间.
在概率密度为单峰且对称的情形,一般当a =-b时求得的置信区间的长度为最短.
在概率密度不对称的情形,如分布,F分布,习惯上仍取对称(即等尾)的分位点来计算未知参数的置信区间.
由此,可以得到未知参数的的任何置信水平小于 1 的置信区间,并且置信水平越高,相应的置信区间平均长度越长.
实用中应在保证足够可靠的前提下,尽量使得区间的长度短一些.
注1: 满足置信度要求的c,, 应选择平均长度达到最短的c与d , 这在G的分布为单峰且对称分布通常容易实现.
c =-d