概率论与数理统计笔记.doc

概率论的基本概念
1 随机试验
、记录、试验统称为随机试验.
,记为, 称中的元素为基本事件或样本点.
;每次实验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;进行一次试验之前不能确定哪一个结果会实现.
、随机事件
,尽管在每次试验之前不能预知试验结果,,记为样本空间的元素,即的每个结果称为样本点.
,,则每次试验总是发生,故又称为必然事件。为方便起见,记为不可能事件,不包含任何样本点.
,则称事件包含事件,这指的是事件发生必导致事件的发生。若且,即,则称事件与事件相等.

,称事件与不相容的,.
6.
7. 事件 A 的对立事件:设 A 表示事件“A 出现”, 则“事件 A 不出现”称为事件 A 的对立事件或逆事件.
事件间的运算规律:


频率反映了事件发生的频繁程度.
:
,频率呈现出稳定性,“频率稳定性”,计算频率以它来表征事件发生可能性的大小是合适的. 随的增大渐趋稳定,记稳定值为. 的稳定值定义为的概率,记为.
:设是随机试验,,记为,称为事件的概率.
满足下列条件:
非负性:对于每一个事件,有
规范性:对于必然事件,有
可列可加性:设是两两相互不相容的事件,即对于,,,则有;
.
(1)
(2)有限可加性若是两两互不相容的事件则有
(3)对于任一事件1
(4)对于任一事件A有
(5)
(古典概型)
,并且试验中每个基本事件发生的可能性相同,具有这样特点的试验是大量存在的,,所以也称为等可能概型.
2. 即是等可能概型中事件的概率的计算公式.

1. 条件概率定义:设是两个事件,且,称
为在事件发生条件下事件发生的条件概率.
,即:
(1)非负性对于每一事件B, 有
(2)规范性对于必然事件S,有
(3)可列可加性设是两两互不相容的事件,则有
3. 乘法定理:设,则有
推广: 一般设为n个事件,,且有
.
:设试验的样本空间为,为的事件, 为的一个划分,且,则
:设试验的样本空间为,为的事件, 为的一个划分,且,则

:设是两事件,如果满足等式,则称事件相互独立,简称独立.
若,则相互独立与互不相容不能同时成立.
2. 定理一:设是两事件,且>0,若相互独立,则=.反之亦然.
:若事件A与B相互独立则与,与,与也相互独立.
:设是三个事件,如果满足等式,,,则称事件相互独立.
5.

随机变量及其分布
随机变量
:设随机试验的样本空间是定义在样本空间上的实值单值函数,称为随机变量.
常见的两类随机变量.
,而以小写字母表示实数.
离散型随机变量及其分布律
:有些随机变量,它全部可能取到的不相同的值是有限个或可列无限多个,这种随机变量称为离散型随机变量.
:取值可数的随机变量为离散量.
称为离散型随机变量X的分布律。满足如下两个条件:
(1) (2)
3.(0-1)分布
设随机变量X只可能取0与1两个值,它的分布律是
,则称 X 服从(0-1)分布或两点分布.
(0-1)分布的分布律也可写成
: 及, ,此时,将独立重复地进行n次,则称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验.
刚好是二项式的展开式中出现的那一项,故称随机变量服从参数的二项分布,,当时二项分布化为,这就是(0-1)分布.

设随机变量X所有可能取值为0,1,2…..而取各个值的概率为

.

1. 分布函数的定义
设是一个连续随机变量,, 是自变量.
由定义,对任意实数,随机点落在区间的概率为:.