柯西不等式求最值.doc

柯西不等式求最值
1. 设a、b、c为正数,求的最小值
【答案】121
,y,z Î R,且满足x2 + y2 + z2 = 5,则x + 2y + 3z之最大值为
解(x + 2y + 3z)2 £ (x2 + y2 + z2)(12 + 22 + 32) = = 70
∴ x + 2y + 3z最大值为
,y,z Î R,若x2 + y2 + z2 = 4,则x - 2y + 2z之最小值为时,(x,y,z) =
解(x - 2y + 2z)2 £ (x2 + y2 + z2)[12 + ( - 2) 2 + 22] = = 36
∴ x - 2y + 2z最小值为- 6,公式法求(x,y,z) 此时
∴,,
,,试求的最大值M与最小值m。
答:根据柯西不等式

即
而有
故的最大值为15,最小值为–15。
,试求之最小值
即
将代入其中,得而有
故之最小值为4。
变形:.设x,y,z Î R,2x + 2y + z + 8 = 0,则(x - 1)2 + (y + 2)2 + (z - 3)2之最小值为
[2(x - 1) + 2(y + 2) + (z - 3)]2 £ [(x - 1)2 + (y + 2) 2 + (z - 3) 2].(22 + 22 + 12)
Þ (x - 1)2 + (y + 2) 2 + (z - 3) 2 ³= 9
, y, zR,若,则之最小值为________,又此时________
∴最小值

∴∴
, b, c均为正数,且,则之最小值为________,此时________。
解:
∴,最小值为18 等号发生于故
∴又∴
, y, zR,若,则之范围为何?又发生最小值时,?
答案:

若又∴
∴∴
,y,z Î R且,求x + y + z之最大值,最小值。
Ans 最大值7;最小值- 3
【解】
∵
由柯西不等式知
[42 + ()2 + 22] ³
Þ 25 ´ 1 ³ (x + y + z - 2)2 Þ 5 ³ |x + y + z - 2|
Þ - 5 £ x + y + z - 2 £ 5 ∴- 3 £ x + y + z £ 7
故x + y + z之最大值为7,最小值为- 3
11.(2008南开)设为正数,且求的最小值.
【答案】由柯西不等式
,求的最大值.
【答案】解:
∴
当且仅当时,取得最大值.
注:也可用二元均值不等式
13.(1)已知实数满足:,,试求的最大值与最小值
【答案】
,y,z满足x+y+z=xyz,且不等式≤λ恒成立,求λ的范围.
解析:由二元均值不等式及柯西不等式,得
≤
故λ的取值范围是[,+∞).
温馨提示
本题主要应用了最值法,即不等式≤λ恒成立,等价于()max≤λ,问题转化为求f(x,y,z)=的最大值.
、、为正数且各不相等。求证:
【答案】
因为、、为正数且各不相等,所以等号不成立,所以有
17. ,求证:
【答案】因为,
18 、为非负数,+=1,求证:
【答案】
19.