柯西不等式求最值.docx

、b、c为正数,求(ac)(-a箜)的最小值c【答案】,y,z1解(x2y3z),y,z1解(x2y2z)x2y2z最小值为最大值为R,若x22/2(xR,且满足22(x2x2yy2z)(1,则x23),y,zx22y2y2zz2)[1则x(2)2y22z22],(x,y,z)9 36,公式法求(x,y,z)此时一y2226HP2223z2 25,试求x2y2z的最大值M与最小值m。(1x2y2z)2 [12 (2)222](x22yz2)即(x2y2z)2925而有15x2y2z15故x2y2z的最大值为15,最小值为—,y,zR,2xy2z6»,试求x!2y2z之最小值[2x(1)y(2)z]2[22(1)2(222)](x2yz2)即(2xy2z)29(x22yz2)将2xy2z6代入其中,得362229(xyz)2x2yz2 4故x22y2z之最小值为4o变形:.设x,y,zR,2x2yz80,则(x221)(y2)(z3)2之最小值为[2(x1)2(y2)(z3)]2[(x 1)2(y22) (z3)2].(222,2、21)答:根据柯西不等式而有(x1)(y2)2(z3),y,zR,若2x3y则x2(y1)22z之最小值为又此时y[x2(y1)222][23)212](2x3y2223z)[x(y1)z2]36 最小值1814 ,b,c解:1337t,Q2x3yz3,2(2t)3(3t1)t均为正数,2b3c2,「a)2 (2b)2(岳)2][(J1))2-之最小值为 c32 2({;)] (1 23),此时a(丄23)18,最小值为18abc等号发生于au//v故Jaa2bbabc又a2b3c2•'1-a—,y,z答案:R,右(x1) (y2) z 4,则3xy2z之范围为何?又3xy2z发生最小值时,x?2[(X 1)2:(y2)z2][32(1)2(2)2](3x3y2 2z)24(:14) (3xy2z5)2214 •3(3t 1)(t2)2(2t) 5312•-t、143吊1 ••,y,zR且(X1)2(y2)2(z3)21,求xyz之最大值,最小值。1654【解】(x1)2(y2)2(z3)2116542,14Ans最大值7;最小值由柯西不等式知4・(1).3c1212)3a123b1233a3b3c3 18(1212(z23)25 1(x yz2)25xyz2 5 •3x故xyz之最大值为7,最小值为311.(2008南开)设a,b,c为正数,且abc【答案】由柯西不等式121212111(a)(b-)(c-)-(abcab ,求3a13b1 、、3c【答案】解5|xyz2|(a丄)2(b丄)2(c-)2的最小值cab12192100-)-(1)c 3abc31的最大值.•••..3a1 ,3b1 ..3c1 —c时,-3a13b3注:.(1)已知实数a,b,c,d满足:abc2b的最大值3c26d2 5,试求a的最大值与最小值【答案】,y,z满足x+y+z=-:、、 2 2z(111)(x温馨提示—3故入的取值范围是]2本题主要应用了最值法1,即不等式xyw入恒成立,等价于(二1)maxW入冋题转化为求zxf(x,y,z)=、c为正数且各不相等。求证:【答案】[(ab)(bc)(ca)](ab(・2因为a、c为正数且各不相等,所以等号不成立,,b,caR,求证:一^―bc【答案】因为a,b,cR,(118a、b为非负数,a+b=1,x1,x2求证:宓bx2)(bx1【答案】(a^bx2)(bx!ax2)(ax〔bx2)(ax2bx)b)(aax2)xx2(a,x〔x2 )2x1x219.(1)已知a、b是正常数,ab,x,y(0,),求证:x222a-■^旦,并指出等号成立的条yxy件;(2)利用(1)的结论求函数f(x)2x(x(0,-))的最小值,2并指出取得最小值时x的值.(1)-)(xy)ya2b2b2-yb22,”(a,b2,当且仅当a2丫xy (2)[解]由(1)f(x)2x3212x(23)22x(1 2x)25.,即12x25min