尚未成功的突破.doc

“尚未成功”的突破(1)
坦率说,在我个人的解题经历中,“尚未成功”乃至失败,,“尚未成功”并非只给笔者留下消极的结果,而面对偶尔的顺利笔者也总是要继续寻找当中的“解题愚蠢”(见文[1]、[2]),我不知道这些说来见笑的个人体验是否对广大读者有点帮助,但我能肯定地说,这是我本来就少得可怜的解题财富中的主要资产,并且我的看法(包括本刊1998年开始的解题分析连载以及《数学解题学引论》一书)已引起了一部分同行的关注与共鸣,需要致歉的是,二三年来,关于解题与解题分析的大批读者来信我不能一一作复,,笔者要进行3个解题个案的分析,以展示如何由失败走向成功,又如何对浅层的成功进行深层的调控. —由失败中获取有用的信息例1 若a、b、c为互不相等的实数,且x/(a-b)=y/(b-c)=z/(c-a),求x+y+z. 解:由等比定理得 x/(a-b)=y/(b-c)=z/(c-a)①=(x+y+z)/[(a-b)+(b-c)+(c-a)].②但是,②式的分母为零(a-b)+(b-c)+(c-a)=0,③我们的解题努力失败了. 评析:这是一个失败的解题案例,文[3]谈到了调整解题方向后的一些处理,其实都用到③,失败的过程恰好显化了题目的一个隐含条件,这是一个积极的收获,当我们将不成功的②式去掉,把目光同时注视①式与③式时,①式使我们看到了两条直线重合:xX+yY+z=0,④(a-b)X+(b-c)Y+(c-a)=0.⑤而③式又使我们看到了直线⑤通过点


X=1,Y=1.作一步推理,直线④也通过点(1,1),于是x+y+z=0. 与文[3]相比,这是一个不无新意的解法,其诞生有赖于两点: 第1,从失败的解题中获取一条有用的信息,即③式. 第2,对①式、③式都作“着眼点的转移”,从解析几何的角度去看它们. 有了这两步,剩下来的工作充其量在30秒以内就可以完成. —尚未成功不等于失败设f(n)为关于n的正项递增数列,M为大于f(1)的正常数,当用数学归纳法来证不等式f(n)<M(n∈N)①时,其第2步会出现这样的情况:假设f(k)<M,则f(k+1)=f(k)+a(a=f(k+1)-f(k)>0)<M+a,②无法推出f(k+1)<M. 据此,许多人建议,用加强命题的办法来处理,还有人得出这样的命题(见文[4][5]): 命题设{f(n)}为关于n的正项递增数列,M为正常数,则不等式f(n)<M(n∈N)不能直接用数学归纳法证明. 评析:不等式①没能用递推式②证出来,有两种可能,其一是数学归纳法的功力不足,“不会用”当作“不能用”,其损失是无法弥补的. 我们分析上述处理的“尚未成功”,关键在于递推式②,这促使我们思考:f(k+1)与f(k)之间难道只有一种递推关系吗? 确实,有的函数式其f(k+1)与f(k)之间的关系很复杂,无法用数学归纳法来直接证明;而有的关系则较简单,“很复杂”还是“较简单”,其表达式都未必惟一,文[6],说明上述“命题”不真: 例2 用数学归纳法证明f(n)=1+(1/2)+(1/22)+…+(1/2n-1)<2. 讲解