2.3 拉普拉斯方程.ppt

§ 拉普拉斯方程,
分离变量法
Laplace's equation,
method of separate variation
1、拉普拉斯方程:
若区域V内无自由电荷,则Poisson's equation变成
Laplace's equation.
产生这个电场的电荷都是分布于区域V的边界上,它们
的作用通过边界条件反映出来:
①给定外边界S,或电势的法向导数/nS
②给定导体电势或导体总电量
因此,讨论的问题归结为:
①怎样求解(通解)Laplace's equation.
②怎样利用边界条件及边值关系求出积分常数。
Laplace's equation可用分离变量法求通解,其求解条件是:①方程是齐次的。
②边界应该是简单的几何面
空间无自由电荷分布,自由电荷只分布在某些介质(或导体)表面上,将这些表面视为区域边界,可用拉普拉斯方程。
某些情况下,在所求区域的介质中若有自由电荷分布,则要求自由电荷产生的势为已知。
当所求区域由分区均匀的介质构成,且所求区域的介质中有自由电荷分布时,则不同介质的分界
分离变量法适用的范围:
面上有束缚面电荷。区域V中电势可表示为两部分的
和,即= 0 + ′,0为已知自由电荷产生的电势,
0不满足Laplace's equation;′为束缚电荷产生的电
势,满足Laplace's equation。这种方法从数学上看,
实质是当区域V中有电荷分布时,电势满足Poisson's
equation,而Poisson's equation——非齐次微分方程的
通解(φ),等于其特解(0)加上拉普拉斯方程——
齐次方程的通解(′)。
但注意,边值关系还要用而不能用
根据具体条件确定常数
选择坐标系和电势参考点
坐标系选择主要根据区域中分界面形状,参考点主要根据电荷分布是有限还是无限;
分析对称性、分区写出拉普拉斯方程在所选坐标系中的通解;
(1)外边界条件: 电荷分布有限
2、解题步骤:
注意:边界条件和边值关系是相对的。导体边界可视为外边界,给定(接地),或给定总电荷 Q,或给定。
电荷分布无限,或均匀电场情况下,电势参考点一般选在有限区。对均匀场,如电势选在坐标原点,
(2)内部边值关系:介质分界面上
一般讨论分界面无自由电荷的情况
3、解题示例:
解:介质球在外电场中极化,在它表面上产生束缚电
荷。这些束缚电荷激发的电场叠加到原外电场上,
得总电场。束缚电荷分布和总电场互相制约,边界
条件正确地反映这种制约关系。
例1:均匀电场中置一半径为R0的介质球,其介电常数为,球外为真空0 。求介质球内外的电位分布规律。(P49例2)
分离变量法问题第一类:均匀外电场
分析:这是全介质的第一类边值问题。球内外电势分布具有轴对称性。整个区域分为两部分:介质球内2,球外部真空1。两区域内部都没有自由电荷,因此电势均满足拉普拉斯方程。
以代表球外区域的电势, 代表球内的电势。
微分方程及其通解:由于问题具有轴对称性,即
与无关,故:
选择电势参考点:
对均匀外电场,取O点为电势零点, O点是介质球置入电场后的球心位置。置入介质球后O点的电势仍应为有限值。
边界条件(定解条件):
1)无穷远处仍保持为均匀电场
2)在球心处,电势应为有限值
3)在介质球面上( )
内边界边值关系
根据定解条件确定常数