2.3 拉普拉斯方程.ppt

例如:①电容器内部的电场是由作为电极的两个导体板上所带电荷决定的。②电子光学系统的静电透镜内部,电场是由分布于电极上的自由电荷决定的。这些问题的特点是:自由电荷只出现在一些导体的表面上,在空间中没有其他自由电荷分布。在许多实际问题中,、,则V内部自由电荷密度ρ=0,电势所满足的泊松方程化为比较简单的情形:注意:求解区域内ρ=0,产生电场的电荷全部分布于V的边界上,他们的作用通过边界条件反映出来。所以,这类问题可归结为求拉普拉斯方程满足边界条件的解。这就是拉普拉斯方程。、分离变量法分离变量法就是将场量的函数表达式中不同坐标相互分离,即将场量分解为单一坐标函数的乘积的形式,求出通解。然后再根据给定的边界条件求出实际问题的特解。不同坐标系中拉氏方程的通解不同。、直角坐标(1)(2)若(3)若,与无关。注意:在(1)、(2)两种情况中若考虑了某些边界条件,将与某些正整数有关,它们可取1,2,3,…,只有对它们取和后才得到通解。:anm,m,dnm为积分常数,在具体问题中由边界条件确定。,电势φ不依赖于Φ,通解为若问题具有球对称性其中-----:二维问题的解:或写成:若二维问题又具有轴对称性,则电势与θ无关即,:①根据界面的形状选择适当坐标系。②建立坐标系,写出场量所满足的方程,写出通解。③写出边界条件和衔接条件(即:不同区域分界面上的边值关系)。④根据定解条件,求出通解中的积分常数。⑤将求出的积分常数代入通解表达式,得到实际问题的解。关键步骤:①充分利用对称性,写出简单的通解。②正确写出边界条件,不能有遗漏。、两无限大平行导体板,相距为,两板间电势差为V(与无关),一板接地,求两板间的电势和。xyOVZ解:(1)边界为平面,故应选直角坐标系下板,设为参考点(2)定性分析:因在(常数),可考虑与无关。