ch 5 定积分.doc

第五章定积分
教学目的:
1、理解定积分的概念。
2、掌握定积分的性质及定积分中值定理,掌握定积分的换元积分法与分部积分法。
3、理解变上限定积分定义的函数,及其求导数定理,掌握牛顿—莱布尼茨公式。
4、了解广义积分的概念并会计算广义积分。
教学重点:
定积分的性质及定积分中值定理
定积分的换元积分法与分部积分法。
牛顿—莱布尼茨公式。
教学难点:
定积分的概念
积分中值定理
定积分的换元积分法分部积分法。
变上限函数的导数。
§5. 1 定积分概念与性质
一、定积分问题举例
1. 曲边梯形的面积
曲边梯形: 设函数y=f(x)在区间[a, b]上非负、连续. 由直线x=a、x=b、y=0及曲线y=f (x)所围成的图形称为曲边梯形, 其中曲线弧称为曲边.
求曲边梯形的面积的近似值:
将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形, 每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替, 每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积, 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值. 具体方法是: 在区间[a, b]中任意插入若干个分点
a=x0< x1< x2< × × ×< xn-1< xn =b,
把[a, b]分成n个小区间
[x0, x1], [x1, x2], [x2, x3], × × × , [xn-1, xn ],
它们的长度依次为Dx1= x1-x0 , Dx2= x2-x1 , × × × , Dxn = xn -xn-1 .
经过每一个分点作平行于y 轴的直线段, 把曲边梯形分成n个窄曲边梯形. 在每个小区间[xi-1, xi ]上任取一点x i , 以[xi-1, xi ]为底、f (x i)为高的窄矩形近似替代第i个窄曲边梯形(i=1, 2, × × × , n) , 把这样得到的n个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值, 即
A»f (x 1)Dx1+ f (x 2)Dx2+× × ×+ f (x n )Dxn.
求曲边梯形的面积的精确值:
显然, 分点越多、每个小曲边梯形越窄, 所求得的曲边梯形面积A的近似值就越接近曲边梯形面积A的精确值, 因此, 要求曲边梯形面积A的精确值, 只需无限地增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零. 记
l=max{Dx1, Dx2,× × ×, Dxn }, 于是, 上述增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零, 相当于令l®0. 所以曲边梯形的面积为
.
2. 变速直线运动的路程
设物体作直线运动, 已知速度v=v(t)是时间间隔[T 1, T 2]上t的连续函数, 且v(t)³0, 计算在这段时间内物体所经过的路程
S .
求近似路程:
我们把时间间隔[T 1, T 2]分成n 个小的时间间隔Dti , 在每个小的时间间隔Dti内, 物体运动看成是均速的, 其速度近似为物体在时间间隔Dti内某点x i的速度v(t i), 物体在时间间隔Dti内运动的距离近似为DSi= v(t i) Dti . 把物体在每一小的时间间隔Dti内运动的距离加起来作为物体在时间间隔[T 1 , T 2]内所经过的路程S 的近似值. 具体做法是:
在时间间隔[T 1 , T 2]内任意插入若干个分点
T 1=t 0< t 1< t 2<× × ×< t n-1< t n=T 2,
把[T 1 , T 2]分成n个小段
[t 0, t 1], [t 1, t 2], × × ×, [t n-1, t n] ,
各小段时间的长依次为
Dt 1=t 1-t 0, Dt 2=t 2-t 1,× × ×, Dt n =t n -t n-1.
相应地, 在各段时间内物体经过的路程依次为
DS 1, DS 2, × × ×, DS n.
在时间间隔[t i-1, t i]上任取一个时刻t i (t i-1<t i< t i), 以t i时刻的速度v(t i)来代替[t i-1, t i]上各个时刻的速度, 得到部分路程DS i的近似值, 即
DS i= v(t i) Dt i (i=1, 2, × × × , n).
于是这n段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S 的近似值, 即
;
求精确值:
记l = max{Dt 1, Dt 2,× × ×, Dt n}, 当l®0时, 取上述和式的极限, 即得变速直线运动的路程
.
设函数y=f(x)在区间[a, b]上非负、连续. 求直线x=a、x=b、y=0
及曲线y=f (x)所围成的曲边梯形的面积.
(1)用分点a=x0<x1<x2< × × ×<xn-1<xn =b把区间[