东南大学数字信号处理吴镇扬33.ppt

§ 从模拟滤波器低通原型到各种数字滤波器的频率变换(原型变换)
对于模拟滤波器,已经形成了许多成熟的设计方案,如巴特沃兹滤波器,切比雪夫滤波器,考尔滤波器,每种滤波器都有自己的一套准确的计算公式,同时,也已制备了大量归一化的设计表格和曲线,为滤波器的设计和计算提供了许多方便,因此在模拟滤波器的设计中,只要掌握原型变换,就可以通过归一化低通原型的参数,去设计各种实际的低通、高通、带通或带阻滤波器。这一套成熟、有效的设计方法,也可通过前面所讨论的各种变换应用于数字滤波器的设计,具体过程如下:
原型变换映射变换

原型变换
也可把前两步合并成一步,直接从模拟低通归一化原型通过一定的频率变换关系,完成各类数字滤波器的设计
模拟原型
模拟低通、高通
带通、带阻
数字低通、高
通带通、带阻

通过模拟原型设计数字滤波器的四个步骤:
1)确定数字滤波器的性能要求,确定各临界频率{ωk}。
2)由变换关系将{ωk}映射到模拟域,得出模拟滤波器的临界频率值{Ωk}。
3)根据{Ωk}设计模拟滤波器的Ha(s)
4) 把Ha(s) 变换成H(z)(数字滤波器系统函数)
下面举例讨论应用模拟滤波器低通原型,设计各种数字滤波器的基本原理,着重讨论双线性变换法。
例1
设采样周期,设计一个三阶巴特沃兹LP滤波器,其3dB截止频率fc=1kHz。分别用脉冲响应不变法和双线性变换法求解。

解:a. 脉冲响应不变法
由于脉冲响不变法的频率关系是线性的,所以可直接按Ωc =2πfc设计Ha(s)。根据上节的讨论,以截止频率Ωc 归一化的三阶巴特沃兹滤波器的传递函数为:
以代替其归一化频率,得:
得到巴特沃兹多项式的系数,之后
以代替归一化频率,即得。
将代入,就完成了模拟滤波器的设计,但为简化运算,减小误差积累, fc数值放到数字滤波变换后代入。
为进行脉冲响应不变法变换,计算Ha(S)分母多项式的根,将上式写成部分分式结构:
对照前面学过的脉冲响应不变法中的部分分式形式,有
将上式部分系数代入数字滤波器的系统函数:
极点
并将代入,得:


合并上式后两项,并将代入,计算得:
可见,H(Z)与采样周期T有关,T越小,H(Z)的相对增益越大,这是不希望的。为此,实际应用脉冲响应不变法时稍作一点修改,即求出H(Z)后,再乘以因子T,使H(Z)只与有关,即只与fc和fs的相对值有关,而与采样频率fs无直接关系。

例如, 与的数字滤波器具有相同的传递函数,这一结论适合于所有的数字滤波器设计。
最后得:
b. 双线性变换法
(一)首先确定数字域临界频率
(二)根据频率的非线性关系,确定预畸的模拟滤波器临界频率
(三) 以代入归一化的三阶巴特沃模拟器传递函数
并将代入上式。
(四)将双线性变换关系代入,求H(Z)。
图1 三阶Butterworth 数字滤波器的频响
脉冲响应不变法
双线性变换法
fs/2