二、双线性变换法
脉冲响应不变法的主要缺点是频谱交叠产生的混淆,这是从S平面到Z平面的标准变换z=esT的多值对应关系导致的,为了克服这一缺点,设想变换分为两步:
第一步:将整个S平面压缩到S1平面的一条横带里;
第二步:通过标准变换关系将此横带变换到整个Z平面上去。
由此建立S平面与Z平面一一对应的单值关系,消除多值性,也就消除了混淆现象。
s平面
s1平面
z平面
双线性变换法的映射关系
为了将S平面的jΩ轴压缩到S1平面jΩ1轴上的-π/T到π/T 一段上,可通过以下的正切变换实现:
这里C是待定常数,下面会讲到用不同的方法确定C,可使模拟滤波器的频率特性与数字源波器的频率特性在不同频率点有对应关系。
经过这样的频率变换, 当Ω由时, Ω1由-π/T经过0变化到π/T ,即S平面的整个jΩ轴被压缩到S1平面的2π/T 一段。
通常取C=2/T,
考虑z = ejω,
再将 S1 平面通过标准变换关系映射到Z平面,即令
将这一关系解析扩展至整个S平面,则得到
S平面到S1平面的映射关系:
最后得S平面与Z平面的单值映射关系:
双线性变换法的主要优点是S平面与Z平面一一单值对应,S平面的虚轴(整个jΩ)对应于Z平面单位圆的一周,S平面的Ω=0处对应于Z平面的ω=0处,对应即数字滤波器的频率响应终止于折叠频率处,所以双线性变换不存在混迭效应。
现在我们看看,这一变换是否符合我们一开始提出的由模拟滤波器设计数字滤波器时,从 S平面到Z平面映射变换的二个基本要求:
①当时,得:
对单位圆, 即S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆。
时
②
即s左半平面映射在单位圆内,s右半平面映射在单位圆外,因此稳定的模拟滤波器通过双线性变换后,所得到的数字滤波器也是稳定的。如图1。
图双线性变换的频率非线性关系
小结
1) 与脉冲响应不变法相比,双线性变换的主要优点:S平面与Z平面是单值的一一对应关系(靠频率的严重非线性关系得到的),即整个jΩ轴单值的对应于单位圆一周,关系式为:
可见,ω和Ω为非线性关系,如图2。
图2 双线性变换的频率非线性关系
由图中看到,在零频率附近,Ω~ω接近于线性关系,Ω进一步增加时,ω增长变得缓慢, (ω终止于折叠频率处),所以双线性变换不会出现由于高频部分超过折叠频率而混淆到低频部分去的现象。
2)双线性变换缺点: Ω与ω成非线性关系,导致:
a. 数字滤波器的幅频响应相对于模拟滤波器的幅频响应有畸变,(使数字滤波器与模拟滤波器在响应与频率的对应关系上发生畸变)。
例如,一个模拟微分器,它的幅度与频率是直线关系,但通过双线性变换后,就不可能得到数字微分器
b. 线性相位模拟滤波器经双线性变换后,得到的数字滤波器为非线性相位。
,故双线性变换只能用于设计低通、高通、带通、带阻等选频滤波器。
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