高中数学极限问题.doc

高中数学极限问题00871第九讲极限与探索性问题
【考点透视】
,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
.
;会求某些数列与函数的极限.
,了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质.
【例题解析】
考点1 数列的极限
:一般地,如果当项数n无限增大时,无穷数列{an}的项an无限地趋近于某个常数a(即|an-a|无限地接近于0),那么就说数列{an}以a为极限.
注意:a不一定是{an}中的项.
:①C=C(C为常数);②=0;③qn=0(|q|<1).
:设数列{an}、{bn},
当an=a, bn=b时, (an±bn)=a±b;
{}满足:,且对于任意的正整数m,n都有,则( )
A. B. C.
[考查目的]本题考查无穷递缩等比数列求和公式和公式的应用.
[解答过程]由和得
故选A.
,展开式中的系数为,则_____.
[考查目的]本题考查利用二项式定理求出关键数, 再求极限的能力.
[解答过程] ,由,所以,所以为1.
,其各项系数和为,则等于( ) ( )
A. B. C.
[考查目的]本题考查无穷递缩等比数列求和公式和公式的应用.
[解答过程]
故选D
,前项的和为,则
.
思路启迪:由等差数列的公差是2,先求出前项的和为和通项.
[解答过程]
故填3
小结:
:
(1)各数列的极限必须存在;
(2)四则运算只限于有限个数列极限的运算.
:
(1) C=C(C为常数);
(2) ()p=0(p>0);
(3) =(k∈N *,a、b、c、d∈R且c≠0);
(4) qn=0(|q|<1).
, b满足则( )
(A)0 (B) (C) (D)1
解:
故选B
小结:重视在日常学习过程中运用化归思想.
考点2 函数的极限
:
(1)如果f(x)=a且f(x)=a,那么就说当x趋向于无穷大时,函数f(x)的极限是a,记作f(x)=a,也可记作当x→∞时,f(x)→a.
(2)一般地,当自变量x无限趋近于常数x0(但x不等于x0)时,如果函数f(x)无限趋近于一个常数a,就说当x趋近于x0时,函数f(x)的极限是a,记作f(x)=a,也可记作当x→x0时,f(x)→a.
(3)一般地,如果当x从点x=x0左侧(即x<x0=无限趋近于x0时,函数f(x)无限趋近于常数a,就说a是函数f(x)在点x0处的左极限,记作f (x)==x0右侧(即x>x0)无限趋近于x0时,函数f (x)无限趋近于常数a,就说a是函数
f (x)在点x0处的右极限,记作f(x)=a.
:
如果f (x)=a, g(x)=b,那么
[f(x)±g(x)]=a±b; [f(x)·g(x)]=a·b; =(b≠0).
例6. =( )

[考查目的]本题主要考查利用同解变形求函数极限的能力.
[解答过程] 故选B
例7. ( )
(A)0 (B)1 (C) (D)
[考查目的]本题主要考查利用分解因式同解变形求函数极限的能力.
[解答过程]
故选D
(x)=在点x=0处连续,则f (0)=__________________.
思路启迪:利用逆向思维球解.
解答过程:∵f(x)在点x=0处连续,∴f (0)=f (x),
f (x)= = =.
答案:
(x)=ax2+bx+c是一个偶函数,且f (x)=0,f (x)=-3,求这一函数最大值..
思路启迪:由函数f (x)=ax2+bx+c是一个偶函数,利用f (-x)=f (x)构造方程,求出b的值.
解答过程:∵f (x)=ax2+bx+c是一偶函数,
∴f (-x)=f (x),即ax2+bx+c=ax2-bx+c.
∴b=0.∴f (x)=ax2+c.
又f (x)= ax2+c=a+c=0, f(x)=ax2+c=4a+c=-3,
∴a=-1,c=1.∴f (x)=-x2+1.∴f (x)max=f(0)=1.
∴f (x)的最大值为1.
(x)是x的三次多项式,已知===1.
求的值(a为非零常数).
解答过程:由于=1,可知f(2a)=0.