个人数学思想心得指南.doc

说明:这是我2008年11月到2010年6月做的一些教学笔记,虽然比较凌乱,却真实地记载了这一年多来教学上的所思所想。平日的教学中多一点这样的思考,我认为是有益的。
1、多取一位近似值够不够?[2008-11-5]
在“近似数和有效数字”的学习中,我们经常面对以下的问题:计算(保留2位小数),如果不完全借助于计算器,笔算的解决方法是,让计算过程比要求的结果多保留一位小数,然后在最后一步再次近似,:≈3×+4×=≈.
这种“比结果多保留一位”的做法是不是一定有效呢?且看一个例子.
例、计算(保留1位小数).
我们在计算过程中分别保留1位、2位、3位小数,、、“多保留一位”的做法,≈≈,而事实上,=…≈,刚才还是做错了!
一般地,我们按照要求对实数取近似值时,可以使用计算器,计算器上总能显示足够多的位数,,那么不妨多保留几位.
2、“欲穷千里目,更上一层楼”? [2008-11-5]
,原题如下:
“欲穷千里目,更上一层楼.”,若观测点的高度为h,观测者视线能达到的最远距离为d,则,其中R是地球半径(通常取6400 km).小丽站在海边一块岩石上,眼睛离海平面的高度h为20m,求此时d的值.

直接代入数据求值,.
我们追问一下,为什么有这个公式呢?且为什么是“≈”呢?
重新画出右边的图形,d=AC就是人站立位置到他的“地平线”的距离,因此AC⊥半径OC,利用勾股定理,,化简得,即.
由于R≈6400 km,h= km,,看这最后两个加数,,而,因此在开平方时可以略去而不致明显影响结果的精确性. 当h相对于R很小时,近似公式可以给出很精确的结果.
谜团解开了,我们是否追问一下:要想真的看到千里远,必须登上多高呢?1000里=500km,代入,得到= km≈20 ?世界屋脊珠穆朗玛峰的高度也不过是8848 m= km,看来,登上珠峰也不能看到千里远.
再假设一下,如果真的能站到这么高,一定能看到那么远吗?研究发现,人眼的分辨角(即刚好能分辨开的两个物点对瞳孔中心的张角)正比于光波的波长,,~8毫米之间调节,因此,人眼不能看见很近的物体,,眼睛的分辨角约为3分,这相当于分辨在1公里远处相距为75厘米的两个物点,那么要看清楚500km远的某个物体,那么这个物体的高度至少要有375米,至少是一座不小的山丘了,这还没有考虑空气的可见度呢.
3、滑落的梯子[2008-11-6]
:,,求梯子顶端与地面的距离h.

用一次勾股定理可以知道h=:,则底部向外滑动多少?计算一下,.
那么是不是上下段滑动的距离总是相等呢?答案是不一定,,h=,,-=.
对这个问题还可以继续提问:把墙壁和地面看做坐标系的第一象限,梯子看做一条固定长度的线段,那么梯子在滑落过程中每一时刻可以看做是一条曲线的切线,也就是说,梯子的位置构成了某一曲线的包络,这条曲线是什么?
答案是:,易见它关于x轴、y轴以及一三、,小圆上某点的轨迹,,因此如果让梯子沿着墙壁滑落,那么形成一簇直线,星形线就是该直线簇的包络,右图显示了这一过程.
有些公共汽车的门比较特殊,它不是对开的两扇,,靠门轴的一半绕着门轴旋转,另一半的外端则沿着连接两个门轴的滑槽滑动,开门时两扇合拢为半扇,:开关车门需要的空间很小,,,,这种车门活动范围只是普通