对称性分析和应用.doc

对称性分析和应用
§ 一般叙述
1,对称性的含义
对称性含义有广义和狭义两种:
广义来说,追求和理解自然界最深层次的对称性一直是物理学发展的主旋律之一。常常是对某种基本对称性的信念,激励人们去发展物理学。
Einstein:“自然界最不可理解的就是它竟然是可以理解的!”。Weyl:“对称性是这样一种意念,人们长年累月地试图以它去理解并创造秩序、美和完善。”
狭义来说,给定系统的某种对称性是指某种不可分辨性,是对某种属性的不可观测。就是说,在某种操作或变换下系统依然保持不变,表现为系统的Hamiltonian在这些变换下保持不变。
一般说,不同体系具有的对称性不一定相同。但是,所有使体系全部物理性质保持不变的对称变换,必定构成此体系的一个对称群。
研究对称性的意义:
第一,构造发展理论。按Heisenberg的观点,“必须寻找的是基本对称性”。
第二,增强物理直觉,利于迅速抓住问题要点,化简提法。
第三,简化一些计算。不经求解方程即可得到态及本征值的某些知识。包括能级特征、矩阵元计算、禁戒规则等。
2,量子力学中的对称性
无论就对称性种类和程度来衡量,QM的对称性都高于CM中的对称性:CM中存在的对称性QM中也都对应存在,如时间、空间的均匀、各向同性对称性;而QM还存在一些CM中所没有的对称性,如全同性原理、同位旋对称性。然而,个别对称性除外,弱等效原理这种对称性在CM中存在,但在QM中被破坏,只当向经典过渡时才又逐渐显现出来。就是说,弱等效原理被量子涨落所破坏。
QM中的对称性,有些是普遍存在的基本对称性,有一些则是特殊系统才具有的特殊对称性;有些是严格成立的对称性,有一些则是近似成立的对称性;有些源于系统的内禀属性,有些则源于外在时空属性;有些对称性所联系的变换是连续的,有些则是分立的。比如,全同粒子置换、空间反射变换、时间反演变换、晶体的对称变换等等均属于分立变换,其余的属于连续变换。
按照物理根源来分类:有的根源于微观粒子的本性。如全同粒子置换对称性。此对称性根源于粒子本性,体现粒子内禀性质,所以是普适的、严格成立的基本对称性,不宜当作动力学对称性;有的根源于时空禀性。时间均匀性、空间均匀性、空间各向同性虽然是普适、严格成立的基本对称性,但它们并不是系统的内在属性。因为它们的物理根源是粒子运动所处时空的内禀性质,是时空固有属性对系统运动行为上的约束。只要不遭受外来破坏,它们就一定严格成立(详见下节叙述);有的根源于系统受到的相互作用,具有动力学性质。空间反射对称性、时间反演对称性等,都是根源于系统内部动力学性质。虽然都是反映了系统的内禀属性,但都不算普适的基本对称性。
比如,中心场的空间旋转对称性、谐振子的空间反演不变性等等。其中,同位旋空间旋转对称性是一个适用范围很广的近似的对称性;有的则来源于系统的特殊构形。它们是各种特定系统(比如各种晶体)的特殊构形所决定的各类特殊空间转动和反射的对称性。但归根结底它们还是来自相互作用,因而是动力学的。
3, 对称性与守恒律及守恒量
一个系统的对称变换,既然使系统全部物理性质保持不变,当
然也使该系统的Hamiltonian保持不变,
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由Wigner定理即可断定:一定是个幺正变换或反幺正变换反过来不能说:一个幺正变换一定是系统的对称变换。因为许多幺正变换会改变系统的Hamiltonian形
。
首先,假定对称变换是连续的。由于不存在连续的反幺正变换,只须研究幺正的情况。以前说过,一个连续变化的幺正变换总可以表示为式。比如,空间转动总是幺正变换,但却只有几种特殊转动,才使离子立方晶体NaCl的Hamiltonian
量保持不变,它们属于NaCl晶体的对称变换。
下面只讨论幺正变换。反幺正变换参见附录一。
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这里为厄米算符,为连续变化的实参数。按(,2)式,写为
由于可取连续值,取足够小,即得
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于是得到结论,[Noether第一定理(1918)]:
如果连续变换是量子系统的对称变换,则的生成元(厄密算符)是该系统的一个守恒量。或者说,当量子系统存在一种连续变化的对称性,就相应地存在一个守恒律和守恒量。
其次,假定对称变换是分立的。这时幺正和反幺正的情况都存在,它们都应当和系统的Hamiltonian对易,即存在
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在量子力学范围内,这包括幺正的空间反射变换和反幺正的时间反演变换两种。其中,空间反射变换既是幺正的也是厄密的,于是它直接就是守恒的力学量——宇称。但对于时间反演变换,由于它的反线性的性质而不存在相应的守恒量(见附录一)。
总之,一般说来,当系统存在某种对称性时,系统必定相应具有某种有规律、有秩序的东西,但并非总是一个守恒的力学量。