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第一章习题
已知不变线性系统的输入为

系统的传递函数。若b取(1)(2),求系统的输出。并画出输出函数及其频谱的图形。
答:(1) 图形从略,
(2) 图形从略。
,
如果,,试证明

证明:
如果, ,还能得出以上结论吗?
答:不能。因为这时。
对一个空间不变线性系统,脉冲响应为

试用频域方法对下面每一个输入,求其输出。(必要时,可取合理近似)
(1)
答:
(2)
答:
(3)
答:
(4)
答:
给定一个不变线性系统,输入函数为有限延伸的三角波

对下述传递函数利用图解方法确定系统的输出。
(1)
(2)
略.
若对二维函数

抽样,求允许的最大抽样间隔并对具体抽样方法进行说明。
答:

也就是说,在X方向允许的最大抽样间隔小于1/2a,在y方向抽样间隔无限制。
若只能用表示的有限区域上的脉冲点阵对函数进行抽样,即

试说明,即使采用奈魁斯特间隔抽样,也不能用一个理想低通滤波器精确恢复。
答:因为表示的有限区域以外的函数抽样对精确恢复也有贡献,不可省略。
若二维不变线性系统的输入是“线脉冲”,系统对线脉冲的输出响应称为线响应。如果系统的传递函数为,证明:线响应的一维傅里叶变换等于系统传递函数沿轴的截面分布。
证明:
线脉冲实质上也是二维的函数,只是沿方向函数值不变,是常数1。

系统对线脉冲的输出响应,即线响应也是二维的函数,可表示为
线响应的一维傅里叶变换则为

这就是系统传递函数沿轴的截面分布
证毕。
这里要注意的一点是

这是二维傅里叶变换的特点,另一个变量是隐含着的。
从这一题中我们还要引伸出一个重要的概念,即二维传递函数测量可以通过一维线响应,即线扩散函数来测量和计算。因为两维的测量在过去没有图像传感器时是相当困难的,而转换成一维信号就可以用全部光能积分随时间变化的线响应来实现了。
如果一个空间不变线性系统的传递函数在频率域的区间,之外恒为零,系统输入为非限带函数,输出为。证明,存在一个由脉冲的方形阵列构成的抽样函数,它作为等效输入,可产生相同的输出,并请确定。
答:参阅《傅里叶光学(基本概念和习题)》P45。
为了便于从频率域分析,分别设:
物的空间频谱;
像的空间频谱;
等效物体的空间频谱;
等效物体的像的空间频谱
由于成像系统是一个线性的空间不变低通滤波器,传递函数在之外恒为零,故可将其记为:
、
利用系统的传递函数,表示物像之间在频域中的关系为

在频域中我们构造一个连续的、二维周期性分布的频域函数,预期作为等效物的谱,办法是把安置在平面上成矩形格点分布的每一个点周围,选择矩形格点在、方向上的间隔分别为和,以免频谱混叠,于是

对于同一个成像系统,由于传递函数的通频带有限,只能允许的中央一个周期成份()通过,所以成像的谱并不发生变化,即
第二章面光波,波矢量与轴的夹角为,与轴夹角为,试写出其空间频率及平面上的复振幅表达式。
答: , ,
尺寸为a×b的不透明矩形屏被单位振幅的单色平面波垂直照明,求出紧靠屏后的平面上的透射光场的角