定积分的例题.doc

定积分例题
一、定积分的概念及性质
例1. 用定积分的几何意义求.
解: 函数在区间[0, 1]上的定积分是以为曲边, 以区间[0, 1]为底的曲边梯形的面积. 因为以为曲边, 以区间[0, 1]为底的曲边梯形是一直角三角形, 其底边长及高均为1, 所以
.
例2. 用定积分的几何意义求.
解:因为在区间上有正有负,所以
等于上位于轴上方的图形面积减去轴下方的图形面积, 所以
.
例3. 比较下列各对积分的大小:
(1)与
解:当时,,
从而
(2)与
解:当时,,所以,
从而
解:当时,,所以,
从而
(2)与
解:当时,,所以,
从而
二、微积分基本定理
例1. 求下列函数的导数:
(1); (2)
解: (1) .
(2)
例2. 计算.
解: 由于是的一个原函数, 所以
.
例3. 计算.
解由于是的一个原函数, 所以
.
例4. 计算.
解=ln 1-ln 2=-ln 2.
例5. 计算
解:原式=
例6. 计算正弦曲线在[0,π]上与轴所围成的平面图形的面积.
解:这图形是曲边梯形的一个特例. 它的面积
=-(-1)-(-1)=2.
三、换元积分法
例1. 计算.
解设,则
当时,;当时,

例2. 计算
解:设,则
当时,;当时,
例3. 计算
解:设,则
当时,,时,.
=
例4. 计算.
解
.
例5.
解:令,则
原式=
例6. 计算
解: 解法一设,则
当时,;当时,
解法二
注:如并不明显写出新变量,则定积分的上下限就不用变。
例7. 计算
解:原式=
四、分部积分
例1. 计算
解设,
=
例2. 计算
解

解
.
解令, 则
.
五、定积分的应用
例1 计算抛物线与直线所围成的图形面积.
解:1、先画所围的图形简图
解方程,得交点: 和。
2、选择积分变量并定区间
选取为积分变量,则
3、给出面积元素
在上,
在上,
4、列定积分表达式
=18
另解:若选取为积分变量,则
显然,解法二较简洁,这表明积分变量的选取有个合理性的问题。
例2求,所围成的图形的面积.
解,,,
当时,于是