运用函数思想，巧解数列题目.doc

运用函数思想,巧解数列题目
摘要:结合函数的思想,在解有关数列的题目中,可以化难为易,使问题得到轻松解决。
关键词:函数思想;数列题目
中图分类号: 文献标识码:B 文章编号:1672-1578(2013)12-0343-01
在高一数学教材中,数列的定义如下:按一定顺序排成的一列数叫数列。数列中的每一个数叫数列的项,如果数列的第n项an 与项数 n之间的关系可用一个公式表示,那么这个公式叫数列的通项公式。而数列的函数定义如下:数列可看作一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2???n})的函数,当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值,而数列的通项公式就是相应的函数解析式。运用函数的观点,在解决有关数列的题目中,可以化难为易,使问题得到轻松解决。本文以实例说明这一问题。
例1:已知数列{an}中,a1=2,a17 =66,通项公式是n的一次函数,求通项公式 an
所以通项公式为an=4n-2
评析:一次函数的解析表达式是y=kx+b,而题目的已知条件是通项公式是n的一次函数,故由函数的定义出发,可设通项公式an=kn+b,把相应数据代入通项公式中,可得到k、b,最后求出通项公式。
例2:一个首项为正数的等差数列{an},已知S5 =S13 ,那么这个数列的前几项和最大?
解:∵S5=S13 ∴Sn的图像所在的抛物线的对称轴为x=5+132=9
又∵a1>0 ∴公差d<0,有最大值。前9项的和最大。
评析:等差数列的前n项和Sn=na1+n(n-1)d/2=dn2/, 把n 看作自变量,Sn 看作函数,则为二次函数,应用二次函数求极值的方法使问题得到轻松解决。
例3:已知数列{an}的通项公式an=n2-11n+10,从第几项起,这个数列的项都大于70?并求它的数值最小的项?
解:由an=n2-11n+10>70得 n2-11n-60>0
得(n-15)(n+4)>0 得 n15
设二次函数为y=x2-11x+10
当x=-11/-2=,
Y最小值=4×10-(-11)2/4 =-81/4=-
结合二次函数图像知:当n=5或n=6时,
a5=a6=-20
答:从第16项起,项都大于70,数值最小的项为第5项和第6项,为-20
评析: 把n看成自变量x ,an 看成函数y,则为二次函数y=x2 -11x+10 ,第1问转化为求一元二次不等式x2-11x+10>70的解集,由数列的定义域为N* 或它的有限子集{1,2…n }的函数,故x<-4(舍),故从第16项起,每一项都大于70。第二问由二次函数的有关知识可知, 当x =,Y最小值=-,